小波去噪方法分析与研究

小波去噪方法分析与研究兰州交通大学自动化与电气工程学院许文博摘要：介绍了相关去噪、模极大值去噪和小波阈值去噪三种传统的去噪方法的原理，分析了小波阈值去噪方法的缺点。提出了新的阀值确定方法，并应用一种新的小波阈值函数处理小波系数实现去噪。最后，论文用Matlab仿真软件对新的小波阀值去噪方法进行了验证，仿真结果进一步表明了新阈值去噪算法的优越性和有效性。关键词:小波去噪；阈值；阈值函数；模极大值；Abstract:Thepaperdescribesthethreetraditionaldenoisingmethodswhichincludiesrelateddenoising,waveletmodulusmaximadenoisingandthresholdingdenoising,thenanalysisshortcomingsofthewaveletthresholddenoisingmethod.Proposesanewmethodfordeterminingthethreshold,andapplyinganewwaveletthresholdfunctionprocessingwaveletcoefficientstoachievedenoisingfunction.Finally,thepaperusingMatlabsimulationsoftwarerealizingthenewwaveletthresholddenoisingmethod,thesimulationresultsfurthershowsuperiorityandeffectivenessofthenewthresholdingalgorithm.Keywords:waveletdenosing;threshold;thresholdfunction;modulusmaxima;引言在实际应用中，由于各种复杂的现场原因，我们接收到的信号总是夹杂着噪声，大大降低了信号的有效性，甚至会使它们失效，因此去噪是信号处理中一个尤为重要的问题。传统的去噪方法是依据对含噪信号的频谱分析，对信号直接进行低通或带通滤波。虽然这种方法简单，易于实现，但它不能滤除有效频带内的噪声，并且滤波器带宽的选择与高分辨率是相矛盾的。小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的多分辨率分析方法，可以很好的刻画信号的非平稳特性。根据噪声和信号的小波系数在小波分解尺度上具有不同的特性，构造相应的规则，在小波域采用适当的方法对含噪信号的小波系数进行处理。近年来，随着对小波去噪算法的深入研究,小波去噪方法也丰富起来。目前比较通用的小波除噪方法有：模极大值去噪算法、相关性去噪算法、小波阈值去噪算法。经典的小波算法1.模极大值去噪算法模极大值去噪算法是根据信号和噪声在多尺度空间上小波变换系数的模极值传播规律的不同而发展起来的一种去噪算法。理论上只要信号与噪声的奇异性有差异，就能产生很好的去噪效果。一般信号小波系数的模极大值将随着小波分解层数的增大而增大；而对于白噪声信号，其模值随着分解层数的增大而减小。因此，观察不同尺度间小波变换模极大值变化的规律，去除幅度随尺度的增加而减小的点（对应噪声的极值点），保留幅度随尺度增加而增大的点（对应于有用信号的极值点）。然后再由保留的模极大值点用交替投影法进行重建，即可以达到去噪的目的。但是，交替投影法算法复杂，容易造成投影信号的偏差，难以在实际应用中对信号进行实时处理。1.2相关性去噪算法相关性去噪算法是根据信号经小波变换后，其小波系数在各尺度上有较强的相关性，尤其是在信号的边缘附近，其相关性更加明显，而噪声对应的小波系数在各尺度间却没有这种明显的相关性来去噪的。在尺度空间上的相关运算能使噪声的幅值大为减小，从而抑制了噪声和小的边缘，增强了信号的主要边缘，更好地刻画了原始信号。并且在小尺度上，这种作用明显大于在大尺度上的作用。由于噪声能量主要是分布在小尺度上，因而这种随尺度增大而作用强度递减的性质，恰好滤除了噪声，很好的保留了有用信号。1.3小波阈值去噪算法小波变换具有一种“集中”的能力，能将信号的能量集中到少数的小波系数上，而白噪声在任何正交基上的变换仍然是白噪声，其分量分布在大多数展开系数上。相对来说，有用信号所对应的小波系数幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数是一致分布的，个数较多，但幅值小。基于这一思想，Donoho等人提出硬阈值和软阈值去噪方法，即在众多小波系数中，把绝对值较小的系数置为零，而让绝对值较大的系数保留或收缩，得到估计小波系数，然后利用估计小波系数直接进行信号重构，即可达到去噪的目的。小波阈值去噪算法主要分为4个步骤：第1步：选择一个小波基函数，确定小波分解层数并对信号进行小波分解。常用于去噪的小波函数有dbN小波、symN小波和coifN小波，层数一般为3-5层。第2步：阈值的确定小波阈值在去噪过程中起到决定性的作用。如果阈值太小，那么阈值处理后的小波系数中包含了过多的噪声分量；如果阈值太大，那么将会丢失信号的一部分有用信息,从而造成小波系数重构后的信号失真。常用的阈值选择方案有四种：（一）基于无偏似然估计的软阈值估计（rigsure）（二）长度对数阈值（sqtwolog）计算公式为：inN2（三）启发式SURE阈值（heursure）是前两种阈值的综合。（四）最小极大方差阈值（minimaxi）产生一个最小均方误差的极值，在给定的函数集中实现最大均方误差最小化。在实际应用中，斯坦无偏似然估计和最大最小值法比较保守，而其他两种方法产生的阈值则过大。第3步：选择合适的阈值函数对小波系数进行阈值处理。常用的阈值函数有以下两种：硬阈值法：iiiidddd0{（1）软阈值法：iiiiiddddd0))(sgn({（2）第4步：小波重构。根据阈值化处理后的高频小波系数以及未处理的低频小波系数进行离散小波反变换重构信号。一种新的小波阈值去噪方法小波阈值算法比较简单，运算量小，因此在信号去噪方面得到了广泛的应用。但是这种方法还存在以下两种不足：①白噪声信号的模极大值随着分解层数的增大而减小，对不同的分解层数采用相同的阈值进行处理，会在低频系数中滤除过多有用信息而在高频系数保留了一些过多的噪声；②在进行阈值处理时，硬阈值处理能更多的保留真实信号的尖峰等特征，但由于其本身的不连续性，去噪的的结果会出现震荡，软阈值是一种更平滑的方式，在去噪后能产生更光滑的结果，但估计的小波系数与原小波系数之间存在恒定的偏差。本文采用的改进方法如下：一、各层采用不同的阈值由文献[4]可知：jKtxWTj2)(2（3）其中K为一个常数，j为分解层数，为Lip指数，)(2txWTj为第j层的小波系数。Lip指数与信号的奇异性有关，越大，信号越平滑。对于一般信号0，即有用信号对应小波系数随分解尺度j的增大而变大。而白噪声的Lip指数则为负值，0,21，即噪声对应的小波系数随分解尺度j的增大而减小。有文献[8]可知，白噪声的Lip指数满足（4）式：0,21（4）由（3）式和（4）式可知})(max{22})(max{122txWTtxWTnnjj（5）其中)(2txWTnj为噪声对应的第j层小波系数，由式可知噪声对应的第j+1层小波系数的最大值小于第j层小波系数的最大值，因此，本论文在阈值处理时每层系数采用不相同的阈值，用前面所述的四种阈值计算方法确定第一层阈值，以后各层阈值为前一层阈值的22倍，即122jj。二、采用新的阈值函数鉴于软阈值和硬阈值的缺点，本论文采用一种新的阈值函数。该阈值函数既要保证其连续性，又要尽可能的消除软阈值函数中的恒定偏差。阈值函数如下：iiiiiddtddd0))(sgn({（6）其中,2)exp(Ndti式中N为一个正常数，id为处理前的小波系数，id为处理后的小波系数。该阈值函数和软阈值函数一样具有连续性，而且当id时,函数是高阶可导的，并且随着系数id的增大，t的值逐渐减小，使得处理前后的小波系数不变。当N取值很大时,新阈值函数相似于软阈值函数;当N趋近于0时,新阈值函数相似于硬阈值函数。通过调节N的大小可以改变新阈值函数的类型，与经典的阈值函数相比更具有灵活性。图1硬阈值函数、软阈值函数及改进法制函数的曲线图1为硬阈值函数、软阈值函数及改进法制函数的曲线图，其中阈值5.0,1N。从图中可以看出，硬阈值函数在阈值点处不连续，软阈值函数存在恒定的偏差。改进阈值函数在阈值点处连续，并且以硬阈值曲线为渐近线。实验仿真文中应用Matlab仿真软件对block信号先加入高斯白噪声，然后采用db1小波对含噪信号进行5层小波分解。用最小极大方差法确定阈值，分别应用传统的小波阈值去噪方法和新的小波阈值去噪方法对小波系数进行处理。仿真结果如图2所示。图2block信号及其去噪结果从图中可以看出，硬阈值法无法完全滤除信号中的噪声，去噪信号中含有一些尖峰，不够光滑。软阈值则滤除了过多的有用信号，使得信号在奇异点处变化缓慢。而新的小波阈值去噪方法正好克服了两者的缺点，既滤除了更多的噪声，有保留了更多的有用信号。表1分别列出了三种方法去噪后的信噪比和均方差，很明显采用新的小波阈值去噪方法去噪后的信号信噪比最高，均方差最小。由于block信号有很多突变点，所以软阈值效果最差。表1三种去噪法比较项目硬阈值软阈值改进小波阈制信噪比(SNR)24.260215.475723.0064均方差(MSE)0.21010.50.1819结论本文利用噪声与信号在小波变换各层系数的传输特性的不同预计噪声对应的小波系数模极大值之间的关系，提出对各层系数采用不同的阈值进行处理，并针对软阈值函数和硬阈值函数各自的缺陷，提出了一种新的阈值函数，更增加了小波去噪的灵活性。通过最后的仿真结果表明，新的小波阈值去噪方法可大幅度提升去噪效果，具有较好的工程应用价值。参考文献：[1]高成.Matlab小波分析及应用.国防工业出版社.2007[2]刘涛.使用小波分析入门.国防工业出版社.2006[3]金宝龙、李辉、赵乃杰、何海峰.一种新的小波阈值去噪算法[M].弹箭与制导学报.2011[4]刘宗昂、杨莘元、王丽安.一种新的小波去噪算法[M].弹箭与制导学报.2009[5]吴伟、蔡培升.基于Matlab的小波去噪仿真[M].信息与电子工程.2008[6]李祥兵、肖合林.基于Matlab的小波阈值折中算法研究[M].电脑开发与应用.2009[7]杜浩潘、丛爽.基于Matlab小波去噪方法研究[M].计算机仿真.2003[8]张兆宁、董肖红、潘云峰.基于小波变换模极大值去噪方法的改进[M].电力系统及其自动化学报.2005作者简介许文博男1987年10月24日生现兰州交通大学自动化与电气工程学院研究生通信地址：兰州交通大学051信箱730070电话[phone]E-mail:[e-mail]