大物习题答案4

4-1习题四4—1质量为m=0.002kg的弹丸，其出口速率为300sm，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力9800400xF。开抢时，子弹在x=0处，试求枪筒的长度。[解]设枪筒长度为L，由动能定理知2022121mvmvA其中LLdxxFdxA00)98000400(940004002LL而00v，所以有：22300002.05.094000400LL化简可得：m45.00813604002LLL即枪筒长度为0.45m。4—2在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度0v沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为121220emvW[证明]物体受力：屏障对它的压力N，方向指向圆心，摩擦力f方向与运动方向相反，大小为Nf(1)另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。由牛顿运动定律切向tmaf(2)法向RvmN2(3)联立上述三式解得Rvat2又dsdvvdtdsdsdvdtdvat所以Rvdsdvv2即dsRvdv两边积分，且利用初始条件s=0时，0vv得0lnlnvsRv即sRevv04-2由动能定理2022121mvmvW，当滑块从另一端滑出即Rs时，摩擦力所做的功为121212122020220emvmvemvWRR4—3质量为m的质点开始处于静止状态，在外力F的作用下沿直线运动。已知TtFF2sin0，方向与直线平行。求：(1)在0到T的时间内，力F的冲量的大小；(2)在0到2T时间内，力F冲量的大小；(3)在0到2T时间内，力F所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。[解]由冲量的定义12ttdtFI，在直线情况下，求冲量I的大小可用代数量的积分，即12ttFdtI(1)从t＝0到t=T，冲量的大小为：TFdtI01TTTtTFdtTtF0000]2cos[22sin=0(2)从t=0到t=T/2，冲量的大小为0000002222]2cos[22sinTFTtTFdtTtFFdtITTT(3)初速度00v，由冲量定理0mvmvI当t=T/2时，质点的速度mTFmIv0又由动能定理，力F所作的功mFTmFmTmvmvmvA220222202220222212121(4)质点的加速度)/2sin()/(0TtmFa，在t=0到t=T/2时间内，a0，质点作初速度为零的加速运动，t=T/2时，a=0，速度达到最大；在t=T/2到t=T时间内，a0，但v0，故质点作减速运动，t=T时a=0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。4—4如图所示，将质量为m的球，以速率1v射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内，使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?[解]设地球和弹簧枪的共同速度为2v，将球体和弹簧枪看作一个系统，因为水平方向所受合外力为零，所以该系统在水平方向上动量守恒，且碰撞前后速度方向相同，故有4-321vMmmv(1)把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失，则该系统的机械能守恒，所以贮存于弹簧中的能量22212121vMmmvW(2)联立以上两式得2122212121vMmmMmmvW212212121vMmmmvMmmMvMmmmv212121214—5角动量为L，质量为m的人造地球卫星，在半径为r的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。[解]将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以vr，由vrLm知，rmvLrmLv所以卫星的动能mrLrmLmmvEk2222212121选无穷远处为势能零点，设卫星在轨道半径为r处的总能量为E，由动能关系EA，2232222mrLdrrmLmdrrvmdrfdErrrrrf所以EmrLE222当r时，0kE，0pE，所以0E222mrLE所以势能22222222mrLmrLmrLEEEkp4—6已知某人造卫星的近地点高度为1h，远地点高度为1h，地球的半径为eR。试求卫星在近地点和远地点处的速率。[解]地球卫星在其轨道上运行，角动量守恒，即恒量L。在近地点和远地点速度方向与轨道半径方向垂直。故2211mvhRmvhRee(1)4-4设在无穷远处为引力势能的零点，则在近地点和远地点系统势能分别为1hRGMme－和2hRGMme－，由机械能守恒定律得2221212121hRGMmmvhRGMmmvee－－(2)在地球表面附近有mgRGMme2(3)联立以上三式解得2112122hhRhRhRgRveeee2121222hhRhRhRgRveeee4—7一质量为1m与另一质量为2m的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由1x增加到dxx1时所需要作的功。[解]万有引力0221rFrmmG两质点间的距离由x增加到dxx1时，万有引力所作的功为1121221111111xdxmGmdrmmGdAdxxdxxrrF故外力所作的功dxxdmGmdxxmGmdAAdxx112111211111rF4—8设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为2rkf，k为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r时的势能。[解]由势能的定义知r处的势能Ep为:rrrpdrrkfdrrdfE322221rkrkr4-54—9如图所示，有一门质量为M(含炮弹)的火炮，在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑到距顶端为l时从炮口沿水平方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车发射炮弹后的瞬时停止滑行，炮弹的初速度v应是多大?[解]大炮从静止滑动距离L的过程中，取大炮(含炮弹）和地球组成的系统为研究对象，系统机械能守恒。设末态大炮的速度为V'，取末态重力势能为零，则由机械能守恒定律，得2/sin2vmMgL(1)大炮发射炮弹的过程中，取大炮和炮弹组成的系统为研究对象，由于重力的冲量可以忽略（与斜面的作用力冲量相比），而斜面的作用力垂直于斜面（斜面光滑），故斜面方向动量守恒，设炮弹初速为v，沿斜面方向的分量为cosv，又因炮车末态静止，则cosmvvM(2)由(1)、(2)两式得cossin2cossin2mgLMmvMvgLv4—10设地球的质量为M，万有引力恒量为0G，一质量为m的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心1R下降到2R处时所增加的动能。[解]由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：212101020)()]([RRRRMmGRMmGRMmGEEpk4—11双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成612xbxaxEp，式中a、b为常数，x为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x为何值时0xEp?x为何值时xEp为极小值?(2)试确定两原子间的作用力；(3)假设两原子中有一个保持静止，另一个沿x轴运动，试述可能发生的运动情况。[解](1)当Ep(x)=0时，有：0612xbxa4-6即abx6或016x故0)(611）（时，或xExbaxpEp(x)为极小值时，有0)(dxxdEp即0612713xbxa和61)2(2bax(2)设两原子之间作用力为)(xf，则)()(xgradExpf在一维情况下，有713612)()(xbxadxxdExfp(3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当xx2时，两原子间的作用f(x)0，它们互相排斥，另一原子将远离；当xx2时f(x)0，它们又互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当xx2时，又受斥力，逐渐减速到零，原子又将远离。如此循环往复。若开始时两原子离得很远，则f(x)趋于零，两原子互不影响。4—12一个质子在一个大原子核附近的势能曲线如图所示。若在0rr处释放质子，问：(1)在离开大原子核很远的地方，质子的速率为多大?(2)如果在02rr处释放质子呢?[解]当r时，0pE，将原子核和质子看作一个系统，可忽略重力作用，则在原子核的引力场中，系统的能量守恒，故rEEpk，又221vmEpk，其中pm为质子的质量，kg10673.127pm，得到pppkmrEmEv22(1)0rr时，JMeVrEp61901010602.140.040.0所以sm1075.810673.11010602.140.026276191v(2)02rr时，JMeVrEp61901010602.112.012.024-7所以sm1079.410673.11010602.112.026276191v4-13两核子之间的相互作用势能，在某种准确程度上可以用汤川势000rrperrErE来表示，式中0E约为50MeV，0r约为m105.115。(1)试求两个柱子之间的相互作用力F与它们之间距离r之间的函数关系；(2)求0rr时相互作用力的值；(3)求02rr，05rr，010rr时作用力的值，并通过比较解释什么是短程力。[解](1)000000011rrrrperrrrEerrEdrddrrdErfrf0为引力(2)当0rr时，NrEerEF30010001092.3222(3)当02rr时，NFereEerrrrEF3002020000021054.083431212当05rr时，0405050000052532561515FereEerrrrEF当010rr时，070100100000052001110011110110FereEerrrrEF由以上的计算结果知，当r增大时，F值迅速减小，即F只在r比较小的范围内(数量级均为m1014)有明显作用，这种力就叫做短程力。4—14如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为0L，倔强系数为k。当t＝0时，弹簧长度为0L。滑块得一水平速度0v，方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(用角表示)。[解]因为弹簧和小球在光滑水平面上运动，所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机械能守恒，即20220)(212121LLkmvmv(1)小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒，即vmrL恒量4-8故sin00LmvmvL(2)由(1)式得2020)(LLmkvv代入(2)式得202000)(sinargLLmkvLvL4—15如图所示，一太空探测器沿着抛物线路径接近金星，当抵达点B时最靠近金星。此时点燃制动火箭减速，使它进入椭圆轨道，以便在点A作切向着陆。点B距金星中心160