北京四中---高中数学高考综合复习专题三十九复数的概率与运算

1高中数学高考综合复习专题三十九复数的概率与运算一、知识网络二、高考考点1.虚数单位的定义与的方幂的周期性应用；2.复数的四则运算，特别是除法法则下“实化分母”的运算；3.复数的分类，重点是复数为实数的充要条件以及复数是纯虚数的充要条件的应用；4.复数的几何意义：在复平面内复数对应点的位置的判定。三、知识要点（一）复数的概念为了解决解方程的过程中负数不能开方的问题，人们引入了一个新数，叫做虚数单位，并规定：（1）它的平方等于-1，即；（2）实数可以与它进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加，乘运算率仍然成立。在这样的规定下1．定义：2（1）形如a+bi(a，b∈R)的数，叫做复数，通常用字母z表示，即：z=a+bi(a，b∈R)将复数表示成a+bi(a，b∈R)形式，叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数a+bi的实部与虚部，全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。（2）分类：对于复数z=a+bi(a，b∈R)，当b=0时，z=a是实数；当b≠0时，z=a+bi叫做虚数；其中当a=0时且b≠0时，叫做纯虚数。复数（3）相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，则说这两个复数相等。即如果a,b,cd∈R，那么a+bi=c+dia=c,b=d特例：a+bi=0a=0,b=0提醒：任意两个实数都可以比较大小，但对于任意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，即如果所给两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小，而只能说相等或不相等。（4）几何意义注意到复数z=a+bi(a，b∈R)与有序实数对（a,b）之间存在的一一对应关系，将复数z=a+bi(a，b∈R)用点Z（a,b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。认知：①在此规定之下，复数与点建立一一对应关系：Z（a,b）其中点Z是复数z的一个几何意义。②实轴上的点都表示实数；除了原点之外，虚轴上的点表示纯虚数（但要注意：虚数上的长度单位是1，而不是）。（二）复数的运算1．复数的加法与减法（1）法则：两个复数相加（减）就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.（2）运算律：复数的加法满足交换律与结合律，即对任何2．复数的乘法与除法（1）乘法①乘法法则规定复数的乘法按照如下法则进行：3设即两个复数相乘，类似两个多项式相乘，但要注意的是要在所得结果中把换成-1，并且把实部或虚部分别合并。②运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何（2）除法①除法的定义：规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足或②操作程序两个复数相除，由于一般不能直接约分化简，因此使用的操作程序是1）将两个复数的商写成分式形式；2）将分子，分母都乘以分母的共轭复数以“实化分母”；3）将上述所得结果化简整理。即③共轭复数1）定义：当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数z的共轭复数记作，即若z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.特例：任一实数的共轭复数为自身：2）性质：其一：设z=a+bi(a,b∈R)，则有（此为除法运算时实数化分母的依据）；4其二：（三）数系的扩充1．数系的扩充过程反序观察数系的扩充过程，便得到人们熟悉的数系表点评：数系表中实与虚，整与分，有理与无理，纯与非纯，这一组组对偶既相互对立，又相互联系和相互依存，充分展示了数学这一“辩证的辅助工具和表现形式”，为我们运用辩证思维解决数学问题奠定了天然的基础。（四）复数集C中的实系数一元二次方程（1）求根公式对于实系数一元二次方程，当判别式时，方程的求根公式为，即（2）认知①当时，实系数一元二次方程的两个根为两个共轭虚数，即实系数一元二次方程的虚根成对。②对于时的实系数一元二次方程，尽管求根公式有所变化，但韦达定理仍然适用。事实上，对于复系数一元二次方程，失去判别作用，但韦达定理仍然适用。四、典例剖析例1．当实数a分别取何值时，复数（1）分别为实数，虚数，纯虚数，零；（2）在复平面内的对应点位于第四象限。5解：利用复数的分类与几何意义复数（显然）（1）由（a+1）(a－6)=0得a=－1或a=6（此时实部有意义），当a=－1或a=6时，z为实数；由(a+1)(a－6)0得a－1且a6注意到这里a－7当a－7且a－1且a6时，z为虚数；解得a=4，当a=4时，z为纯虚数；解得a=－1，当a=－1时，z=0。（2）解不等式组得，时复数z的对应点在复平面的第四象限。点评：必须特别注意所给复数存在的条件，本题中的a－7。例2．已知x是实数，y是纯虚数，且满足，求x与y。解：注意到y是纯虚数，故设，则代入已知等式得整理得根据两复数相等的充要条件得，由此解得所求6点评：这里问题的实质是在复数集中解方程，一般是从设出有关复数的代数形式切入，利用两复数相等的充要条件，将所给问题转化为解实数集上的方程组，进而由此获得原方程的解。提醒：本例求解时易犯的错误：由已知等式得错误原因：未从本质上把握复数的代数形式。例3．已知复数求k的值。解：，∴由的表示形式得k=2即所求k=2点评：(i)对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小，均为实数。（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数z，且R；且R。例4．若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。解：设为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得，消去m得，故得7当时得，原方程的实根为；当时得，原方程的实根为。点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。例5．设复数，且，求实数a，b的值。解：，将代入得，即∴由两复数相等的定义得解得.∴所求实数。点评：（1）条件求值或化简，是先代入再化简为上，还是先化简再代入更好？需要在入手前细细斟酌，果断敲定；（2）在复数运算时，记住一些常用结论有益于提高运算效率.如等。例6．设z为纯虚数，且满足，求z．解法一：由题意设，则代入已知条件得∴又，故得8∴解法二：由z为纯虚数得，∴∴又，故得，即。例7：已知，复数的虚部减去它的实部的差为，求w2的值。解：由得.依题意得.又,故得.，.例8：已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。解：设，。由得9①对应点在第二象限，故有②又由①得③由③得，即，∴，∴④于是由②，④得，即再注意到a0，故得即所求a的取值范围为点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。此外，这里对于有选择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。例9．已知虚数z满足，且的对应点在第一象限的角平分线上，求z。解法一（直接设z）：由题意设，则10∴由得∵，∴①又的对应点在第一象限的角平分线上，∴x+1=y，且y0.②于是将①，②联立解得∴z=1+2i.解法二（利用已知条件设复数）：注意到的对应点在第一象限的角平分线上，故设∴，∴∴由得，∴z=1+2i.解法三（利用已知条件构造关于z的方程）：注意到，设则①∵z为虚数，∴即，∴关于z的一元二次方程①有虚根，∴利用求根公式解得，又z+1的对应点在第一象限的角平分线上，∴②11且③∴由③得，解之得∴代入②得z=1+2i.点评：三种解法各有所长，各自从不同侧面开阔学生的视野与思维。例10．求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）；（2）z的实部与虚部都是整数。解：设，则由题意，∴∴y=0或（Ⅰ）当y=0时，，，∴由得①注意到当x0时，；当x0时，，此时①式无解。（Ⅱ）当时，由得∴又这里x，y均为整数12∴x=1，或x=3，，∴或于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i.例11．（1）计算（2）已知，，求的值。（3）已知，求的值；（4）已知，求的值。解：（1）原式=（2）由已知得，∴原式=点评：（Ⅰ）认知i的方幂的基本性质，有利于化简或求值：即i的方幂具有周期性，且最小正周期为4。13（Ⅱ）当单值代入目标式比较复杂时，刻意认知目标，先去求某些式子的值，进而整体代入，此为条件求值的基本方略。下一例题我们仍运用这一方略求值。解：（3）由已知得x+1=2i.解法一：两边平方得即，∴又u除以的商式为，而余式为10，∴=0+10=10。解法二：注意到x+1=2i，对u进行配方得，∴=（4），∴两边平方得，∴又用去除的商式，余式为2z+1，∴点评：认知已知，认知目标，而后从已知式入手去构造目标中某个板块的值，进而整体代入，这种整体思想常常在求值问题中运用，请同学们注意领悟，实践。例12．（1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。14（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。解：（1）解法一：将代入方程得由于，故有，解法二：注意到实系数一元二次方程根成对，所以方程的另一根必是由韦达定理得，解得（2）解：设则为方程的另一虚根。∵，∴由得①又由韦达定理得，∴由①得∴，∴，即a，b，c成等比数列。五、高考真题15（一）选择题1.（2005·全国卷A）复数=（）A.iB.–iC.D.分析：直接法，原式，应选A。2.（2005·重庆卷）（）A.iB.–iC.D.分析：原式，应选A。3.（2005·山东卷）（）A.iB.–iC.1D.–1分析：原式，应选D。4.（2005·湖南卷）复数的值是（）A.–1B.0C.1D.i分析：，应选B5.（2005·湖北卷）（）A.–2-iB.–2+iC.2-iD.2+i分析：原式（实化分母），应选C.166.（2005·福建卷）复数的共轭复数为（）A.B.C.1-iD.1+i分析：，，应选B。7.（2005·辽宁卷）复数，在复平面内，z所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：对z施行通分，实化分母得z=-1+i，∴应选B。8.（2005·浙江卷）在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析：先简得，故应选B。9.（2005·全国卷B）设a,b,c,d∈R，若为实数，则（）A.B.C.D.分析：注意到i，∴由题设得bc-ad=0，应选C。10.（2005·天津卷）若复数，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A.–2B.4C.–6D.617分析：由题意设，则有∴由两复数相等的充要条件得由此解得a=-6,m=3，应选C。11.（2005·江西卷）设复数，若为实数，则x=（）A.–2B.–1C.1D.2分析：，∴由得x+2=0，即x=-2，故应选A。12.（2005·广东卷）若，其中，则（）A.0B.2C.D.5分析：由已知式得故得∴，应选D。（二）填空题1.（2005·北京卷）若，且为纯虚数，则实数a的值为。分析：∴由为纯虚数得，故应填182.（2005·全国卷C）已知复数，复数z满足，则复数z=。分析：由已知得∴应填（三）解答题1.（2005·上海卷）证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解。证明：原方程可化为设，代入上述方程得∴得，∴方程③无解，∴原方程在复数范围内无解。2.（2004·上海卷）已知复数满足，，其中i为虚数单位，，若，求a的取值范围。分析：从化简切入，从利用复数的模的公式突破。解：由题意得∴，又∴19∴所求a的取值范围为（1，7）。