全国2卷,高考数学试卷理科

2010年普通高等学校招生全国统一考试·理科数学（全国Ⅱ卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.（2010全国卷Ⅱ，理1）复数（错误!未找到引用源。）2等于A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案：A2.（2010全国卷Ⅱ，理2）函数y=错误!未找到引用源。（x1）的反函数是A.y=e2x+1-1（x0）B.y=e2x-1+1（x0）C.y=e2x+1-1（x∈R）D.y=e2x-1+1（x∈R）答案：D3.（2010全国卷Ⅱ，理3）若变量x，y满足约束条件错误!未找到引用源。则z=2x+y的最大值为A.1B.2C.3D.4答案：C4.（2010全国卷Ⅱ，理4）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7等于A.14B.21C.28D.35答案：C5.（2010全国卷Ⅱ，理5）不等式错误!未找到引用源。0的解集为A.{x|x-2或x3}B.{x|x-2或1x3}C.{x|-2x1或x3}D.{x|-2x1或1x3}答案：C6.（2010全国卷Ⅱ，理6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有A.12种B.18种C.36种D.54种答案：B7.（2010全国卷Ⅱ，理7）为了得到函数y=sin（2x-错误!未找到引用源。）的图像，只需把函数y=sin（2x+错误!未找到引用源。）的图像A.向左平移错误!未找到引用源。个长度单位B.向右平移错误!未找到引用源。个长度单位C.向左平移错误!未找到引用源。个长度单位D.向右平移错误!未找到引用源。个长度单位答案：B8.（2010全国卷Ⅱ，理8）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若错误!未找到引用源。=a，错误!未找到引用源。=b，|a|=1，|b|=2，则错误!未找到引用源。等于A.错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。bB.错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。bC.错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。bD.错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b答案：B9.（2010全国卷Ⅱ，理9）已知正四棱锥S—ABCD中，SA=2错误!未找到引用源。，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为A.1B.错误!未找到引用源。C.2D.3答案：C10.（2010全国卷Ⅱ，理10）若曲线y=错误!未找到引用源。在点（a，错误!未找到引用源。）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于A.64B.32C.16D.8答案：A11.（2010全国卷Ⅱ，理11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个答案：D12.（2010全国卷Ⅱ，理12）已知椭圆C：错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1（ab0）的离心率为错误!未找到引用源。，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与C相交于A、B两点，若错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，则k等于A.1B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.2答案：B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13.（2010全国卷Ⅱ，理13）已知α是第二象限的角，tan（π+2α）=-错误!未找到引用源。，则tanα=________.答案：-错误!未找到引用源。14.（2010全国卷Ⅱ，理14）若（x-错误!未找到引用源。）9的展开式中x3的系数是-84，则a=________.答案：115.（2010全国卷Ⅱ，理15）已知抛物线C：y2=2px（p0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为错误!未找到引用源。的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。则p=________.答案：216.（2010全国卷Ⅱ，理16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________.答案：3三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17.（2010全国卷Ⅱ，理17）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=错误!未找到引用源。，cos∠ADC=错误!未找到引用源。，求AD.解：由cos∠ADC=错误!未找到引用源。0知B错误!未找到引用源。，由已知得cosB=错误!未找到引用源。，sin∠ADC=错误!未找到引用源。，从而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.由正弦定理得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，AD=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=25.18.（2010全国卷Ⅱ，理18）已知数列{an}的前n项和Sn=（n2+n）·3n.（1）求错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.（2）证明错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+…+错误!未找到引用源。3n.（1）解：错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。（1-错误!未找到引用源。）=1-错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.（2）证明：当n=1时，错误!未找到引用源。=S1=63;当n1时，错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+…+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+…+错误!未找到引用源。=（错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。）·S1+（错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。）·S2+…+［错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。］·Sn-1+错误!未找到引用源。·Sn错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。·3n3n.所以，当n≥1时，错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+…+错误!未找到引用源。3n.19.（2010全国卷Ⅱ，理19）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1.错误!未找到引用源。（1）证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线;（2）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1-AC1-B1的大小.解法一：（1）证明：连结A1B，记A1B与AB1的交点为F，因为面AA1B1B为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.错误!未找到引用源。作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B，连结DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°，设AB=2，则AB1=2错误!未找到引用源。，DG=错误!未找到引用源。，CG=错误!未找到引用源。，AC=错误!未找到引用源。，作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连结B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.B1H=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，HC1=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，AC1=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，HK=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，tan∠B1KH=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.所以二面角A1-AC1-B1的大小为arctan错误!未找到引用源。.解法二：（1）证明：以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B—xyz，设AB=2，则A（2，0，0），B1（0，2，0），D（0，1，0），E（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，0），又设C（1，0，c），则错误!未找到引用源。=（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，0），错误!未找到引用源。=（2，-2，0），错误!未找到引用源。=（1，-1，c）.于是错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=0，错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=0，故DE⊥B1A，DE⊥DC，所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.（2）因为〈错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。〉等于异面直线AB1与CD的夹角，故错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=|错误!未找到引用源。|·|错误!未找到引用源。|cos45°，即2错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。×错误!未找到引用源。=4，解得c=错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。=（-1，0，错误!未找到引用源。）.又错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=（0，2，0）.所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=（-1，2，错误!未找到引用源。）.错误!未找到引用源。设平面AA1C1的法向量为m=（x，y，z），则m·错误!未找到引用源。=0，m·错误!未找到引用源。=0，即-x+2y+错误!未找到引用源。z=0且2y=0.令x=错误!未找到引用源。，则z=1，y=0，故m=（错误!未找到引用源。，0，1），设平面AB1C1的法向量为n=（p，q，r），则n·错误!未找到引用源。=0，n·错误!未找到引用源。=0，即-p+2q+错误!未找到引用源。r=0，2p-2q=0，令p=错误!未找到引用源。，则q=错误!未找到引用源。，r=-1，故n=（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，-1）.所以cos〈m，n〉=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.由于〈m，n〉等于二面角A1-AC1-B1的平面角，所以二面角A1-AC1-B1的大小为arccos错误!未找到引用源。.20.（2010全国卷Ⅱ，理20）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.错误!未找到引用源。（1）求p；（2）求电流能在M与N之间通过的概率;（3）ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望.解：记Ai表示事件：电流能通过Ti，i=1，2，3，4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流.B表示事件：电流能在M与N之间通过.（1）错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。，A1，A2，A3相互独立，P（错误!未找到引用源。）=P（错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。）=P（错误!未找到引用源。）P（错误!未找到引用源。）P（错误!未找到引用源。）=（1-p）3.又P（错误!未找到引用源。）=1-P（A）=1-0.999=0.001，故（1-p）3=0.001，p=0.9.（2）B=A4+错误!未找到引用源。·A1·A3+错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。·A2·A3，P（B）=P（A4+错误!未找到引用源。·A1·A3+错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。·A2·A3）=P（A4）+P（错误!未