中考数学思想函数思想

漫谈中考数学中的数学思想之一——中考数学中的函数思想数学思想，是数学的基本观点和处理问题的基本方法，是数学的灵魂和精髓，是把数学知识转化为数学能力的桥梁。随着新课程改革和中考改革的逐步深入，新课标理念下的中考已从对学生的知识考查转变为着重考查学生的能力，因此，也就突出了对数学思想方法的考查。函数是初中数学的主要内容，函数思想就是用运动、变化的观点来观察、分析问题，构造变量之间的函数关系，借助于函数的图象和性质，使问题获得解决的一种方法。本文以国家级课改实验区2004年中考试题为例，谈谈函数思想方法在解题中的运用。1、求函数解析式.抛物线Y=-X2+(m一l）与Y轴交于（0,3）点．(1）求出m的值并画出这条抛物线；2、求函数自变量取值范围例2函数321xy的自变量x的取值范围是。3、画函数图象例3（潍坊市）2004年6月3日中央新闻报道，为鼓励居民节约用水，北京市将出台新的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过的部分按每立方米4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）。现假设该市某户居民某月用水x立方米，水费为y元，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）4、由函数图象获取信息22．如图（l）是某公共汽车线路收支差额y(票价总收人减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会.xy841234OABxy841234Oxy841234OCD。1234xy84O乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图（l）分别改画成图（2）和图（3),(l）说明图（1）中点A和点B的实际意义：(2）你认为图（2）和图（3）两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是.(3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图（4）中画出符合这种办法的y与x的大致函数关系图象。第22题图5、表格中的函数例5（潍坊市）已知某山区的平均气温与该山区的海拔高度的关系见下表：海拔高度（单位“m”）0100200300400…平均气温（单位“℃”）2221.52120.520…⑴若海拔高度用x（m）表示，平均气温用y（℃）表示，试写出y与x之间的函数关系式；⑵若某种植物适宜生长在18℃~20℃（包括18℃，也包括20℃）的山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？6、最值问题22、春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。（1）九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（201x且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：鲜鱼销售单价（元/kg）20单位捕捞成本（元/kg）55x捕捞量（kg）x950（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕劳量相比是如何变化的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式;（当天收入＝日销售额－日捕捞成本）（3）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？7、优化设计问题例7（贵阳市）某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元。小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张。⑴写出零星租碟方式应付金额y1（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式；⑵写出会员卡租碟方式应付金额y2（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式；⑶小彬选取哪种租碟方式更合算？解析：⑴y1与x之间的函数关系式为：xy1；⑵y2与x之间的函数关系式为124.02xy；⑶由y1＞y2，有x＞0.4x＋12，解得：x＞20；由y1＝y2，有x＝0.4x＋12，解得：x＝20；由y1＜y2，有x＜0.4x＋12，解得：x＜20。所以，当x＞20时，选择会员卡方式合算；当x＝20时两种方式一样；当x＜20时，选择零星租碟方式合算。8、几何图形中的函数例8（潍坊市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E。⑴试确定CP＝3时，点E的位置；⑵若设CP＝x，BE＝y，试写出y关于自变量x的函数关系式；⑶若在线段BC上能找到不同的两点P1、P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围。解析：⑴作DF⊥BC，F为垂足。当CP＝3时，∵四边形ADFB是矩形，则CF＝3，∴点P与F重合。又BF⊥FD，∴此时点E与点B重合。⑵当点P在BF上时，∵∠EPB＋∠DPF＝90°，∠EPB＋∠PEB＝90°，∴∠DPF＝∠PEB，FEBDAPC因而Rt△PEB∽Rt△DPF。∴FDFPBPBE①，又BE＝y，BP＝12－x，FP＝x－3，FD＝a，代入①，即axxy312，∴)3615(1)3)(12(12xxaxxay②，点E在CF上时,同理可求得)3615(12xxay。⑶当点E与A重合时，y＝EB＝a，此时点P在线段BF上，由②得，)3615(12xxaa，整理得，0361522axx③。由于在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，也就是说方程③有两个不相等的正根。故有△＝)36(4)15(22a＞0，解得：2a＜481，又a＞0，∴0＜a＜29。在我们的现实世界中，运动变化无处不在，反映在数学上，函数思想的应用非常广泛，以上几例仅仅是函数思想应用的几个侧面。运用函数思想解决问题的关键在于我们要研究的对象是否是一个运动变化过程，在这一运动变化过程中是否有两个变量，是不是一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果上述回答是肯定的，那么我们就可以运用函数思想来解决问题。