【复习参考】高三数学(理)考点巩固训练49直线与圆锥曲线的位置关系

-1-考点巩固训练49直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．设F是抛物线E的焦点，经过F的直线与抛物线E交于P，Q两点，以PQ为直径的圆与抛物线E的准线的位置关系是()．A．相交B．相离C．相切D．相交、相切、相离都有可能2．直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()．A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x3．已知任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()．A．(0,1)B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞)D．[1,5)4．已知A，B，P是双曲线x2a2－y2b2＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝23，则该双曲线的离心率为()．A．52B．62C．2D．1535．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1交于不同两点A，B，则|AB|的最大值为()．A．2B．455C．4105D．81056．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()．A．4B．33C．43D．87．(安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()．A．22B．2C．322D．22二、填空题8．(浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝__________.-2-9．已知椭圆y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为__________．10．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则实数k＝__________.三、解答题11．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，3)，(0，－3)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程；(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时，OA→⊥OB→？此时|AB→|的值是多少？12．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．-3-参考答案一、选择题1．C解析：过P，Q分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，可知|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|，取PQ的中点O及MN的中点H，可知|OH|＝12(|PM|＋|QN|)＝12|PQ|，∴圆与抛物线的准线相切．2．B解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由弦长结合抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝8．又由AB的中点到y轴的距离可得x1＋x22＝2，代入上式可得p＝4，故抛物线方程为y2＝8x．3．C解析：直线y＝kx＋1过定点(0，1)，只要(0，1)在椭圆x25＋y2m＝1内部即可．从而m≥1．又因为椭圆x25＋y2m＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1，5)∪(5，＋∞)．4．D解析：设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，所以x12a2－y12b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减，得kPA·kPB＝b2a2＝23，所以e2＝a2＋b2a2＝53．故e＝153．5．C解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入x24＋y2＝1，消去y，得54x2＋2tx＋t2－1＝0．由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5．弦长|AB|＝2×4×5－t25≤4105．6．C解析：由抛物线的定义知|AF|＝|AK|，又∵∠KAF＝∠AFK＝60°，∴△AFK是正三角形．联立方程组y2＝4x，y＝3(x－1)，消去y，得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝13．由题意得A(3，23)，∴△AKF的边长为4，面积为34×42＝43．-4-7．C解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2．∴A点坐标为(2，22)，则直线AB的斜率k＝22－02－1＝22．∴直线AB的方程为y＝22(x－1)，即为22x－y－22＝0，则点O到该直线的距离为d＝223．由y2＝4x，y＝22(x－1)，消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝12．∴|BF|＝x2＋1＝32，∴|AB|＝3＋32＝92．∴S△AOB＝12|AB|·d＝12×92×223＝322．二、填空题8．94解析：x2＋(y＋4)2＝2到直线y＝x的距离为42－2＝2，所以y＝x2＋a到y＝x的距离为2，而与y＝x平行且距离为2的直线有两条，分别是y＝x＋2与y＝x－2，而抛物线y＝x2＋a开口向上，所以y＝x2＋a与y＝x＋2相切，可求得a＝94．9．y24＋x2＝1解析：∵椭圆y2a2＋x2b2＝1的右顶点为A(1，0)，∴b＝1，焦点坐标为(0，c)，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，即1＝2|x|＝2b1－c2a2＝2b2a＝2a，a＝2，则椭圆方程为y24＋x2＝1．10．0或12解析：联立y＝kx＋2，y2＝4x，得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0．当k＝0时，此方程有唯一的根，满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k－4)2－16k2＝－32k＋16＝0，k＝12．故k＝0或k＝12均满足题意．三、解答题11．解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为a＝2的椭圆，它的短半轴长b＝22－（3）2＝1，-5-故曲线C的方程为x2＋y24＝1．(2)由x2＋y24＝1，y＝kx＋1，消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，Δ＝(2k)2－4×(k2＋4)×(－3)＝16(k2＋3)＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4．由OA→⊥OB→，得x1x2＋y1y2＝0．而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－3k2＋4－3k2k2＋4－2k2k2＋4＋1＝－4k2＋1k2＋4．由－4k2＋1k2＋4＝0，得k＝±12，此时OA→⊥OB→．当k＝±12时，x1＋x2＝∓417，x1x2＝－1217．|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）（x2－x1）2，而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝42172＋4×1217＝42×52172，所以|AB→|＝46517．12．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a．l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x－1，y2＝4x化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2（c2－b2）a2＋b2．因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]，得43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2．所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22．-6-(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3．由|PA|＝|PB|得kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1，得c＝3，从而a＝32，b＝3．故椭圆E的方程为x218＋y29＝1．