x14应变分析上

第十四章应变分析应变分析第一节位移与应变第二节质点的应变状态和应变张量第三节小应变几何方程、应变连续方程第四节塑性变形体积不变条件第五节速度分量和速度场、位移增量和应变增量第六节对数应变第七节平面应变问题和轴对称问题第一节位移与应变小变形：物体在外力作用下产生变形，与本身几何尺寸相比是非常小的量（0.001～0.01），这种变形称作小变形。位移：变形体内质点变形前与变形后的直线距离称为位移，位移是矢量。位移是坐标的连续函数。位移：变形体内质点变形前与变形后的直线距离称为位移，位移是矢量。位移是坐标的连续函数。位移：变形体内质点变形前与变形后的直线距离称为位移，位移是矢量。位移是坐标的连续函数。位移：变形体内质点变形前与变形后的直线距离称为位移，位移是矢量。位移是坐标的连续函数。第一节位移与应变位移：变形体内质点变形前与变形后的直线距离称为位移，位移是矢量。位移是坐标的连续函数。1位移与应变物体内部质点的位置移动，质点M变形后移动到M1，质点在变形前后的直线距离称为位移，位移是矢量。该点的位移分量，用u、v、w表示，或用角标符号ui表示根据连续性假设，位移是坐标的连续函数，而且一般都有一阶偏导数，即物体中某点产生了位移，还不表明物体产生了变形，只有质点间产生相对位移，才会引起物体变形。线元PB由原来r变成r1=r+δr，于是把单位长度的变化定义为线元PB的线应变上图所示的φyx可以看成是由线元PA和PC同时向内偏移相同的角度γxy和γyx而成，如图c所示，且φyx工程切应变2质点的应变状态和应变张量（1）在x、y、z方向上线元的长度发生改变，其线应变分别为（2）单元体分别在x面、y面和z面内发生角度偏转，产生切应变为这9个应变分量组成一个应变张量，由于其中γij=γji，故应变张量也是二阶对称张量，可用εij表示为第二节质点的应变张量一、点的应变状态（1）在x、y、z方向上线元的长度发生改变，其线应变分别为（2）单元体分别在x面、y面和z面内发生角度偏转，产生切应变为二、应变张量（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用ε1、ε2、ε3表示主应变。（2）存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，其应变状态特征方程：（3）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量。①可以求出该点任意方向上的线应变εxεyεz和切应变γxyγyzγzx②存在三个相互垂直的主方向，对应有主应变ε1、ε2、ε3，应变状态特征方程。③存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且塑性变形时体积不变I1=0点的应变状态与应力状态相类比点的应变状态与应力状态相类比④存在主切应变γ1、γ12、γ13与主方向成45°角）⑤应变球张量和应变偏张量分别表示体积变化和形状变化⑥存在八面体应变和等效应变（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用ε1、ε2、ε3表示主应变，则主应变张量为主应变可由应变状态特征方程（2）存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且（3）在与主应变方向成45ο方向上存在主切应变，其大小为等效应变的特点是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变ε1。等效应变又称广义应变，在屈服准则和强度分析中经常用到它。应变莫尔圆表示一点的应变状态。为半径画三个圆，如图15-4，称为应变莫尔圆。所有可能的应变状态都落在阴影线范围内。第三节小应变几何方程、应变连续方程一、小应变几何方程xy2αxyαyxd1dyuu+δuca1db(x,y+dy)δubu+δubb1b2δυcC1C2υ+δυcdxυυ+δυb0xy应变分量与位移分量的关系a(x,y)c(x+dx,y)用角标符号可简记为由变形几何关系得到应变分量与位移分量之间的关系式：上式称为小应变几何方程，又称柯西几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由上述小应变几何方程求得应变场。二、应变连续方程只有当应变分量之间满足一定的关系时，才能保证变形体的连续性，否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程。例题：设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为u=(10+0.1xy+0.05z)×10−3v=(5−0.05x+0.1yz)×10−3w=(10−0.1xyz)×10−3试求：点Ａ（1,1,1）与点B（0.5,－1,0）的应变值。在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积不发生变化，因此上式称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应变之和等于零,说明三个正应变分量不可能全部同号。第四节塑性变形体积不变条件第五节应变增量、应变速率张量一、速度分量：质点在单位时间内的位移叫做位移速度，它在三个坐标轴方向的分量叫做位移速度分量，简称速度分量，即二、位移增量：物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量。三、应变增量：应变增量的几何方程应变增量张量重要意义：对于塑性变形的大变形过程，可以采用无限小的应变增量来描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看作是一系列瞬时应变增量的积累。四、应变速率张量单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度。应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。应该注意:应变速率是应变增量对时间的微商，通常并不是全量应变的微分。第六节平面问题和轴对称问题一、平面应力问题σz=τzx=τzy=0，只有σx、σy、τxy三个独立的应力分量，且σx、σy、τxy沿z方向均匀分布，即应力分量与z轴无关。平面应力状态的应力张量为或工程中，薄壁容器承受内压、无压边的板料拉深、薄壁管扭转等，由于厚度方向的应力很小可以忽略，均可简化为平面应力状态。二、平面应变问题如果物体内所有质点都只在同一坐标平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形，就属于平面变形或平面应变问题。设没有变形的方向为z方向，该方向上的位移分量为零，其余两个方向的位移分量对z的偏导数必为零，所以εz=γxz=γyz=0，则平面应变状态的三个应变分量为εx、εy、γxy，且满足以下几何方程根据体积不变条件有εx=−εy塑性成形中的轴对称应力状态主要指每个子午面（通过旋转体轴线的平面）都始终保持平面，且子午面之间的夹角保持不变。轴对称问题通常采用圆柱坐标系(ρ,θ,z)比较方便。当用圆柱坐标表示应力单元体时，应力张量的表示形式为三、轴对称问题当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。相应的应力平衡微分方程表示为圆柱坐标系下的几何方程为1）在θ面上没有切应力，τθρ=τθz=0，所以应力张量中只有四个独立的应力分量；2）各应力分量与θ坐标无关，对θ的偏导数为零。用圆柱坐标表示轴对称应力状态的应力张量为轴对称应力状态的特点：其应力平衡微分方程式为在某些情况下，例如圆柱体在平砧间均匀镦粗、圆柱体坯料的均匀挤压和拉拔等，其径向应力和周向应力相等σρ=σθ，在应力平衡微分方程式中，便只有三个独立的应力分量。对于均匀变形时的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔，以及圆柱体平砧镦粗等，其径向位移分量u与坐标ρ成线性关系，于是得所以ερ=εθ这时，径向正应力和周向正应力分量也相等，即σρ=σθ本章完