全国初中数学竞赛试题含答案(福建赛区2011至2017年)

初中数学竞赛复赛试题答案第1页（共52页）第（4）题第（8）题2011年全国初中数学竞赛试题及答案（福建赛区）一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）（1）设532x，则代数式(1)(2)(3)xxxx的值为().（A）0（B）1（C）﹣1（D）2*（2）对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为；（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）。如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）=（u，v），那么（x，y）为（）。（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（-1，0）（D）（0，-1）*（3）已知A，B是两个锐角，使满足225sincos4ABt，2225cossin4ABt，则实数t所有可能的和为（）。（A）83（B）53（C）1（D）113（4）点DE，分别在△ABC的边ABAC，上，BECD，相交于点F，设1234BDFBCFCEFEADFSSSSSSSS四边形，，，，则13SS与24SS的大小关系为().（A）1324SSSS（B）1324SSSS（C）1324SSSS（D）不能确定（5）设333311111232011S，则4S的整数部分等于().（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数ab，（其中2011b），斜边长是1b的直角三角形的个数为.（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是.（8）如图，双曲线xy2（x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为.初中数学竞赛复赛试题答案第2页（共52页）（9）⊙Ｏ的三个不同的内接正三角形将⊙Ｏ分成的区域的个数为_________。（10）设四位数abcd满足3333110abcdcd，则这样的四位数的个数为________。三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于x的一元二次方程20xcxa的两个整数根恰好比方程20xaxb的两个根都大1，求abc的值.（12）如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙1O和△BCH的外接圆⊙2O相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点.（13）若从1，2，3，……，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有个整数十素数，求n的最大值。（14）已知0122011iai，，　，　，　，且122011aaa，证明：122011aaa，，，中一定存在两个数ijaaij，（），使得(1)(1)2010ijjiaaaa．初中数学竞赛复赛试题答案第3页（共52页）2011年全国初中数学竞赛试题及答案（福建赛区）一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）（1）设532x，则代数式(1)(2)(3)xxxx的值为().（A）0（B）1（C）﹣1（D）2【答】C．解：由已知得2310xx，于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)11.xxxxxxxxxx*（2）对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为；（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）。如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）=（u，v），那么（x，y）为（）。（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（-1，0）（D）（0，-1）答案B*（3）已知A，B是两个锐角，使满足225sincos4ABt，2225cossin4ABt，则实数t所有可能的和为（）。（A）83（B）53（C）1（D）113答案B（4）点DE，分别在△ABC的边ABAC，上，BECD，相交于点F，设1234BDFBCFCEFEADFSSSSSSSS四边形，，，，则13SS与24SS的大小关系为().（A）1324SSSS（B）1324SSSS（C）1324SSSS（D）不能确定【答】C．第（4）题初中数学竞赛复赛试题答案第4页（共52页）解：如图，连接DE，设1DEFSS，则1423SSEFSBFS，从而有1324SSSS．因为11SS，所以1324SSSS．（5）设333311111232011S，则4S的整数部分等于().（A）4（B）5（C）6（D）7【答】A．解：当232011k，，，，因为32111112111kkkkkkk，所以333111111511123201122201120124S．于是有445S，故4S的整数部分等于4．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数ab，（其中2011b），斜边长是1b的直角三角形的个数为.【答】31．解：由勾股定理,得12)1(222bbba．因为b是整数，2011b，所以2a是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223563，，，．因此a一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是.【答】16．解：在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6），（2，5），（2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366.（8）如图，双曲线xy2（x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为.【答】32．解：如图，设点B的坐标为ab（,）,则点F的坐标为2ba（，）.因为点F在双曲线2yx上，所以4.ab初中数学竞赛复赛试题答案第5页（共52页）又点E在双曲线上，且纵坐标为b，所以点E的坐标为2(,)bb.于是11212222221312.22OEFOECFBEOFBCSSSSbbbababbab梯形（）（）（）（9）⊙Ｏ的三个不同的内接正三角形将⊙Ｏ分成的区域的个数为_________。答案28【解答】不妨设。⊙Ｏ的半径为1，则以点O为圆心，0.5为半径的圆是⊙Ｏ的内接正三角形的内切圆．因为过内切圆外一点只能作这个内切圆的两条切线，所以，⊙Ｏ的三个不同的内接正三角形中没有三条边交于一点，于是区域的个数为28.（10）设四位数abcd满足3333110abcdcd，则这样的四位数的个数为________。答案5三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于x的一元二次方程20xcxa的两个整数根恰好比方程20xaxb的两个根都大1，求abc的值.解：设方程20xaxb的两个根为，，其中，为整数，且≤，则方程20xcxa的两根为11，，由题意得11aa，，………………………………5分两式相加，得2210，即(2)(2)3，所以，2123，；或2321.，………………………………10分第（8）题初中数学竞赛复赛试题答案第6页（共52页）解得11，；或53.，又因为[11]abc（），，（）（），所以012abc，，；或者8156abc，，，故3abc，或29.………………………………………………20分（12）如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙1O和△BCH的外接圆⊙2O相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点.证明：如图，延长AP交⊙2O于点Q，连接AHBDQBQCQH，，，，.因为AB为⊙1O的直径，所以∠ADB∠90BDQ．…………5分故BQ为⊙2O的直径.于是CQBCBHHQ，.………10分又因为点H为△ABC的垂心，所以.AHBCBHAC，所以AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACQH为平行四边形.……15分所以点P为CH的中点.…20分（13）若从1，2，3，……，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有个整数十素数，求n的最大值。初中数学竞赛复赛试题答案第7页（共52页）（14）已知0122011iai，，　，　，　，且122011aaa，证明：122011aaa，，，中一定存在两个数ijaaij，（），使得(1)(1)2010ijjiaaaa．证明：令20101220111iixia，，，，，……………………………………5分则20112010102010xxx.…………………………………10分故一定存在1≤k≤2010，使得11kkxx，从而120102010111kkaa．…………………………………15分即11(1)(1)2010kkkkaaaa．…………………………………………20分初中数学竞赛复赛试题答案第8页（共52页）2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式22()aabcabc可以化简为（C）A．2caB．22abC．aD．a解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知0bac，且bc，所以22()()()()aabcabcaabcabca2．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式2222xyxy的整数点坐标()xy，的个数为（B）A．10B．9C．7D．5解：由题设2222xyxy，得220(1)(1)2xy．因为x，y均为整数，所以有22(1)0(1)0xy，22(1)0(1)1xy，22(1)1(1)0xy，22(1)1(1)1xy解得11xy，12xy，10xy，01xy，21xy，00xy，02xy，20xy，22xy,以上共计9对()xy，3．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．30ADC，AD=3，BD=5，则CD的长为（B）A．23B．4C．52D．4.5解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．由于AC=BC，CD=CE，BCDBCAACDDCEACDACE．所以△BCD≌△ACE，BD=AE．又因为30ADC，所以90ADE．在Rt△ADE中，53AEAD，，于是DE=224AEAD，所以CD=DE=4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（D）A．1B．2C．3D．4解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，xy，均为非负整数．由题设可得2(2)2()xnyynxn．消去x得，(27)4yny，(27)1515212727ynyy．因为1527y为正整数，所以27y的值分别为1，3，5，15．y的值只能为4，5，6，11．从而n