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4.4平面图形1．多边形的概念我们已经认识到立体图形是由平面图形所围成的，因此研究立体图形往往从平面图形开始．如图所示，三角形、长方形和圆是我们早就熟悉的图形．圆是由曲线围成的封闭图形．而上面的其他四个图形是由线段围成的封闭图形．多边形的概念：我们把由线段围成的封闭图形叫做多边形．多边形的标志：①线段围成；②封闭图形．按照组成多边形的边的个数，有三角形、四边形、五边形、六边形……等等．谈重点圆不是多边形(1)圆是由曲线围成的封闭图形；(2)多边形是由线段围成的封闭图形．【例1】下列图形中多边形有几个？()．A．2个B．3个C．4个D．5个解析：多边形概念包含两个条件，首先是封闭图形，从而排除各行中的最后一个；其次必须由线段围成，从而排除第一行的第二个图形、第二行的第一、三个图形．答案：B解技巧依据概念识别多边形判断一个图形是否是多边形一定要严格依据概念，而不能依靠自己的直觉解题，如第二行的第二个图形，若仅凭感觉很容易出错．2.多边形的分割(1)从一个n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与它不相邻的顶点，可以将n边形分割成(n－2)个三角形．我们把一个顶点与其余的不相邻的顶点连接起来的线段叫做这个多边形的对角线．如图所示，四边形从一个顶点出发只有1条对角线，把四边形分成2个三角形；五边形从一个顶点出发有2条对角线，把五边形分成3个三角形；六边形从一个顶点出发有3条对角线，把五边形分成4个三角形……依此类推．(2)在n边形内任意取一点，将这一个点与各个顶点分别连接，可以将多边形分割成n个三角形．如图所示，如果按这种方法分割多边形，四边形可以分割成4个三角形；五边形可以分割成5个三角形；六边形可以分割成6个三角形……n边形可以分割成n个三角形．(3)在n边形的一条边上任找一点(顶点除外)，将该点与各顶点连接，这种方法可以把n边形分割成(n－1)个三角形．如图所示，如果按这种方法分割多边形，四边形可以分割成3个三角形；五边形可以分割成4个三角形；六边形可以分割成5个三角形……n边形可以分割成(n－1)个三角形．【例2】用不同的方法把图形全部分割成三角形，至少可以分割成10个三角形的多边形是()．A．8B．10C．12D．14解析：从一个12边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余和它不相邻的顶点，可以将n边形分割成10个三角形；在12边形内任意取一点，将这一个点与各个顶点分别连接，可以将多边形分割成12个三角形；在12边形的一条边上任找一点(顶点除外)，将该点与各顶点连接，这种方法可以把n边形分割成11个三角形．所以至少可以分割成10个三角形的多边形是12边形．答案：C3．简单图案的设计生活中许多美丽的图案都是由平面图形构成的．如图所示，生活中处处充满了美丽而富有意义的图案，而且有许多仅仅是用简单的平面图形构成的．设计图案时，一般要先设计一些简单的图案，例如三角形，正方形，平行四边形，圆等，再把这些图案按要求变换，从而得到较复杂的，具有美感的图案．【例3】生活中经常看到一些简单的平面图形组成的优美图案，你能说出下图中的神秘图案由哪些平面图形组成的吗？分析：通过仔细观察，就可以找到组成各个图案的基本几何图形．解：(1)正方形；(2)正五边形，三角形；(3)正五边形，三角形，正六边形，平行四边形．解技巧设计图案的基本图形三角形、正方形、圆、平行四边形、梯形、正五边形、正六边形等是设计图案的基本图形．4．按要求分割三角形一般就是按要求把三角形分为面积相等的几部分，利用等(同)底等(同)高的两个三角形的面积相等可以做出解答．如图所示的两个三角形等底同高，所以面积相等．【例4】用三种不同的方法将下图的三角形分成面积相等的4个小三角形．分析：把三角形的面积分为相等的四部分，凭同学们的生活经验即可解决，作图时，要准确测量．解：如图所示．5.多边形的分割与拼接多边形与三角形的关系是本节内容的重点，也是中考考查的热点，例如正方形的分割与拼接，长方形的分割与拼接在中考中经常遇到．解题时，要注意审清题意，按要求分割，弄清楚分割前后三角形的对应关系．任何一个多边形都可以用不同的方法分割成若干个三角形，常见的有以下方法：(1)从一个顶点出发与其他顶点连接；(2)从多边形的内部找一点，连接这点与多边形的各顶点；(3)在边上找一点(除顶点之外)，连接该点与各顶点．在分割三角形时，要按一定的标准去分割，注意各自的规律．多边形的拼接一般考查规则多边形，例如正方形，长方形，等腰梯形等的拼接，解题时，注意这些特殊多边形的边角的特点(以后还会进一步学习)．析规律转化思想在多边形的分割中的应用将多边形分割成若干个三角形是解决多边形问题的重要方法，体现了转化的数学思想．第二种分割法可以把n边形分割成(n－1)个三角形；第三种分割法可以把n边形分割成n个三角形．6．七巧板及其应用“七巧板”也称“七巧图”，就是用七块不同形状的木板构成图形的游戏．在“七巧板”的七个部件中有五块等腰直角三角形板(两块完全一样的小型三角形板、一块中型三角形板和两块完全一样的大型三角形板)、一块正方形板和一块平行四边形板．制作七巧板的步骤如下：①把正方形纸板分成七部分；②剪开成七块；③分别涂上七种不同的颜色．用七块板不但可以拼成一个正方形，还可以拼出多种多样的几何图形，如长方形、三角形、平行四边形、不规则的多角形等，如图(1)；也可以拼成各种形态的人物形象，如图(2)；或者动物，如猫、鸭子、乌龟等，如图(3)；或者是桥、房子、宝塔等，如图(4)；或者是一些汉字、英文字母等，如图(5)．【例6－1】如图，七巧板中小阴影三角形的面积是大阴影三角形的面积的几分之几？分析：小阴影三角形的面积是七巧板中小型三角形的面积，假设小型三角形的面积是1，则中型三角形的面积是小型三角形面积的2倍，是2；大阴影三角形的面积又是中型三角形的面积的2倍，是4；所以七巧板中小阴影三角形的面积是大阴影三角形的面积的14.解：假设小阴影三角形的面积是1，则大阴影三角形的面积是4，所以小阴影三角形的面积是大阴影三角形面积的14.【例6－2】如图，用七巧板拼出图案后，并附上一句比较贴近图形且有意义的解说词：“书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”．你能用七巧板拼出美丽的图案，并附上一句贴切有意义的解说词吗？分析：用七巧板拼图是一种传统的益智游戏，通过自己的想象，可以拼出很多种图案，如几何图形、动物、建筑物等，同学们可以选取自己熟悉的图形和实物来拼．应当先从基本的图案开始，逐渐变换拼图思路，创造出新的图案．解：如图所示．