2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业23

课时作业(二十三)1．(2013·东城区期末)已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于()A．0.92B．0.85C．0.88D．0.95答案A2．设f(sinx)＝cos2x，那么f(32)等于()A．－12B．－32C.12D.32答案A3．若cos2αsinα－π4＝－22，则sinα＋cosα的值为()A．－72B．－12C.12D.72答案C解析cos2αsinα－π4＝sinπ2－2αsinα－π4＝2sinπ4－αcosπ4－αsinα－π4＝－2cos(π4－α)＝－2(22sinα＋22cosα)＝－2(sinα＋cosα)＝－22.所以sinα＋cosα＝12.4．(2013·湖北八校)已知f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则f(π12)的值为()A．43B.833C．4D．8答案D解析∵f(x)＝2(tanx＋cosxsinx)＝2×(sinxcosx＋cosxsinx)＝2×1cosx·sinx＝4sin2x，∴f(π12)＝4sinπ6＝8.5．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()A.103B.53C.23D．－2答案A解析由3sinα＋cosα＝0，得cosα＝－3sinα.则1cos2α＋sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sinαcosα＝9sin2α＋sin2α9sin2α－6sin2α＝103，故选A.6．(2012·山东)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.34答案D解析∵θ∈[π4，π2]，2θ∈[π2，π]，故cos2θ0.∴cos2θ＝－1－sin22θ＝－1－3782＝－18.又cos2θ＝1－2sin2θ，∴sin2θ＝1－cos2θ2＝1－－182＝916.∴sinθ＝34，故选D.7．(2013·洛阳统考)若cos2αsinα＋π4＝12，则sin2α的值为()A．－78B.78C．－47D.47答案B解析cos2αsinα＋π4＝cos2α－sin2αsinαcosπ4＋cosαsinπ4＝2(cosα－sinα)＝12，即cosα－sinα＝24，等式两边分别平方得cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－sin2α＝18，解得sin2α＝78.8．(2013·衡水调研卷)计算tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α的值为()A．－2B．2C．－1D．1答案D解析tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α＝sinπ4＋α·cos2α2sin2π4＋αcosπ4＋α＝cos2α2sinπ4＋αcosπ4＋α＝cos2αsin2π4＋α＝cos2αsinπ2＋2α＝cos2αcos2α＝1，选D.9．(2013·郑州质检)已知tanα＝2，则2sin2α＋1sin2α＝()A.53B．－134C.135D.134答案D解析2sin2α＋1sin2α＝3sin2α＋cos2α2sinαcosα＝3tan2α＋12tanα＝134，故选D.10．已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1＋sin2xcos2x－sin2x＝()A．－195B.195C.113D．－113答案A解析f′(x)＝cosx＋sinx，由f′(x)＝2f(x)，即cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，得tanx＝3，所以1＋sin2xcos2x－sin2x＝1＋sin2xcos2x－2sinxcosx＝2sin2x＋cos2xcos2x－2sinxcosx＝2tan2x＋11－2tanx＝－195.11．若θ∈[0，π)且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.答案0或π412．已知sinx＝5－12，则sin2(x－π4)＝________.答案2－5解析sin2(x－π4)＝sin(2x－π2)＝－cos2x＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1＝2－5.13．设α为第四象限的角，若sin3αsinα＝135，则tan2α＝________.答案－34解析sin3αsinα＝sin2α＋αsinα＝sin2αcosα＋cos2αsinαsinα＝135.∴2cos2α＋cos2α＝135，2cos2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2kπ－π2α2kπ，∴4kπ－π2α4kπ(k∈Z)．又∵cos2α＝450，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos22α＝－35，∴tan2α＝－34.14．已知sinα＝cos2α，α∈(π2，π)，则tanα＝________.答案－33解析sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0.∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sinα－1＝0.∴sinα＝12，cosα＝－32，∴tanα＝－33.15．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，且sinA·cosA＝34，则此三角形为________．答案等边三角形解析∵tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，∴tan(A＋B)＝－3，得A＋B＝120°.又由sinAcosA＝34，得sin2A＝32.∴A＝60°(A＝30°舍去)，∴△ABC为等边三角形．16．(2013·西城区期末)已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos2θ＝__________.答案－45解析方法一sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos2(θ＋π4)＝－1－tan2θ＋π41＋tan2θ＋π4＝45，cos2θ＝sin2(θ＋π4)＝2tanθ＋π41＋tan2θ＋π4＝35，∴原式＝45－35－1＝－45.方法二tan(π4＋θ)＝3，1＋tanθ1－tanθ＝3，解得tanθ＝12，sin2θ－2cos2θ＝2sinθcosθ－2cos2θsin2θ＋cos2θ＝2tanθ－2tan2θ＋1＝－45.17．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________．答案3解析由已知B＝60°，A＋C＝120°，∴tanA2＋tanC2＋3tanA2·tanC2＝tanA＋C2(1－tanA2·tanC2)＋3tanA2tanC2＝3(1－tanA2·tanC2)＋3tanA2tanC2＝3.18．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－x·sin2π4＋x.答案12cos2x解析原式＝2cos2xcos2x－1＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝12－2cos2xsin2x2sinπ4－xcosπ4－x·sin2π4＋x＝12－12sin2x22cosπ4＋xsinπ4＋x·sin2π4＋x＝12cos22xsinπ2＋2x＝12cos2x.19．已知0＜α＜π2，π2＜β＜π且tanα2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cosα与cosβ的值；(2)求tanα－β2的值．答案(1)cosα＝35cosβ＝－1665(2)－1123解析(1)cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝35，∵0＜α＜π2，∴sinα＝45.∵α＋β∈(π2，3π2)，sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－1213.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1213)·35＋513·45＝－1665.(2)∵2cos2β2－1＝cosβ＝－1665且β2∈(π4，π2)，∴cosβ2＝7130，∴sinβ2＝9130.∴tanβ2＝97.∴tanα－β2＝tanα2－tanβ21＋tanα2tanβ2＝－1123.1．已知450°α540°，则12＋1212＋12cos2α的值是()A．－sinα2B．cosα2C．sinα2D．－cosα2答案A解析原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cosα＝|sinα2|.∵450°α540°，∴225°α2270°.∴原式＝－sinα2.2．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，π2)，则sinα＝________.答案12解析由已知得sin22α＋sin2αcosα－(2cos2α－1)＝1.∴sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0.∴4sin2αcos2α＋2sinα·cos2α－2cos2α＝0.∴4sin2α＋2sinα－2＝0.解得sinα＝12(负值舍去)．3．已知cos(α＋π6)－sinα＝233，则sin(α－7π6)的值是________．答案23解析∵cos(α＋π6)－sinα＝32cosα－32sinα＝233，∴12cosα－32sinα＝23，即cos(α＋π3)＝23.又sin(α－7π6)＝－sin(7π6－α)＝sin(π6－α)＝sin[π2－(α＋π3)]＝cos(α＋π3)＝23.4．已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM→＝(sinB＋cosB，cosC)，ON→＝(sinC，sinB－cosB)，OM→·ON→＝－15.(1)求tan2A的值；(2)求2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4的值．解析(1)∵OM→·ON→＝(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－15，∴sinA＋cosA＝－15.①两边平方并整理，得2sinAcosA＝－2425.∵－24250，∴A∈(π2，π)．∴sinA－cosA＝1－2sinAcosA＝75.②联立①②，得sinA＝35，cosA＝－45，∴tanA＝－34.∴tan2A＝2tanA1－tan2A＝－321－916＝－247.(2)∵tanA＝－34，∴2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4＝cosA－3sinAcosA＋sinA＝1－3tanA1＋tanA＝1－3×－341＋－34＝13.