2015届《创新设计》高考数学(江苏版,理科)一轮总复习步骤规范练概率随机变量及其分布

步骤规范练——概率、随机变量及其分布(建议用时：90分钟)一、填空题1．某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________．解析P(X7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案0.792．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________．解析设事件A发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4.答案[0.4,1]3．已知X的分布列为X－101P121316则在下列式子中：①E(X)＝－13；②V(X)＝2327；③P(X＝0)＝13.正确的个数是________．解析E(X)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．V(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．答案24．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170”，根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为________．解析设参加面试的人数为n，依题意有C22C1n－2C3n＝6n－2nn－1n－2＝6nn－1＝170，即n2－n－420＝(n＋20)(n－21)＝0，解得n＝21或n＝－20(舍去)．答案215．某人随机地在如右图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析设正三角形边长为a，则外接圆半径r＝32a×23＝33a，∴所求概率P＝34a2π33a2＝334π.答案334π6．盒子中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，共取2次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是________．解析设“第二次取得一等品”为事件A，“第一次取得二等品”为事件B，则P(AB)＝C12C14C16C15＝415，P(A)＝C14C13＋C12C14C16C15＝23，∴P(B|A)＝PABPA＝41523＝25.答案257．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差V(X)的值为________．解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B4，35，∴V(X)＝4×351－35＝2425.答案24258．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为________．解析法一由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8，∵K，A1，A2相互独立，∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A1A2)＋P(A1A2)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A1A2)＋P(A1A2)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.法二A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(A1A2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.答案0.8649．(2014·惠州调研)节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：X200300400500P0.200.350.300.15若进这种鲜花500束，则期望利润是________．解析依题意，若进这种鲜花500束，利润应为Y＝(5－2.5)X－(2.5－1.5)×(500－X)＝3.5X－500.则E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．所以E(Y)＝E(3.5X－500)＝3.5E(X)－500＝3.5×340－500＝690元．答案690元10．(2014·泰州模拟)设f(x)＝x2－2x－3(x∈R)，则在区间[－π，π]上随机取一个数x，使f(x)＜0的概率为________．解析由f(x)＝x2－2x－3＜0，得－1＜x＜3.故所求概率为P＝3＋12π＝2π.答案2π11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________.解析从n个数中任取两个不同的数，有C2n种取法，其中取出的两数之和等于5共有2种情况，∴P＝2C2n＝114，∴n＝8.答案812．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a＋13b的最小值为________．解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0a23，0b1.又2a＋13b＝3a＋2b22a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝163，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”又3a＋2b＝2，即当a＝12，b＝14时，2a＋13b的最小值为163.答案16313．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥1)＝________.解析∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C02(1－p)2＝59，解得p＝13.又Y～B(3，p)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C03(1－p)3＝1927.答案192714．(2012·新课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．解析设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为(AB＋AB＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率P＝12×12＋12×12＋12×12×12＝38.答案38二、解答题15．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．解X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.∴李明实际参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024李明在一年内领到驾照的概率为1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.9976.16．从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．解(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A，则P(A)＝C12C16C28＝37.(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4.则P(X＝1)＝C12C16＋C22C28＝1328，P(X＝2)＝C26C28·C14C12＋C22C26＝928，P(X＝3)＝C26C28·C24C26·C12C12＋C22C24＝528，P(X＝4)＝C26C28·C24C26·C22C24＝128.X的分布列为X1234P1328928528128E(X)＝1×1328＋2×928＋3×528＋4×128＝2514.17．为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3；乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5.(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为X，求X的分布列及均值E(X)、方差V(X)．解(1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：(2)因为x－甲＝x－乙＝8.5，又s2甲＝0.27，s2乙＝0.405，得s2甲s2乙，所以选派甲合适．(3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为12，X的可能取值为0,1,2,3.则X～B3，12，∴P(X＝k)＝Ck312k1－123－k＝Ck3123，k＝0,1,2,3.所以X的分布列为X0123P18383818∴E(X)＝np＝3×12＝32，V(X)＝np(1－p)＝3×12×1－12＝34.18．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)·P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2