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专题突破练(六)[A级基础达标练]一、选择题1.若x-12n的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项系数之和为()A.132B.164C.-164D.1128[解析]由题意知C2n=nn-12=15,所以n=6,则x-12n=x-126,令x=1,得各项系数之和为126=164.[答案]B2.在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=3,在BC上任取一点D,使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23[解析]在△ABC中,由余弦定理AC=7,cos∠BAC>0.当∠BDA为直角时,BD=1,又BC=3,∴当∠BDA为钝角时的概率P=13.[答案]B3.如图64是统计高三年级2000名同学某次数学考试成绩的程序框图,S代表分数,若输出的结果是560,则这次考试数学分数不低于90分的同学的概率是()图64A.0.28B.0.38C.0.72D.0.62[解析]由程序框图知,输出结果为数学分数低于90分的同学人数,故数学分数不低于90分的同学有2000-560=1440(人),∴所求事件的概率P=14402000=0.72.[答案]C4.(2013·安徽高考)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数[解析]A,不是分层抽样,因为抽样比不同.B,不是系统抽样,因为随机询问,抽样间隔未知.C,五名男生成绩的平均数是x=86+94+88+92+905=90,五名女生成绩的平均数是y=88+93+93+88+935=91,五名男生成绩的方差为s21=15(16+16+4+4+0)=8,五名女生成绩的方差为s22=15(9+4+4+9+4)=6,显然,五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差.D,由于五名男生和五名女生的成绩无代表性,不能确定该班男生和女生的平均成绩.[答案]C5.签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为()A.5B.5.25C.5.8D.4.6[解析]由题意可知,X的所有取值为3,4,5,6,P(X=3)=1C36=120,P(X=4)=C23C36=320,P(X=5)=C24C36=310,P(X=6)=C25C36=12.∴E(X)=3×120+4×320+5×310+6×12=5.25.[答案]B二、填空题6.某校开展“爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A给出的分数如图65所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是________.图65[解析]若数字90+x是最高分,则平均分为x1=17(88+89+91+92+92+93+94)≈91.3,∴不合题意,因此最高分为94分,此时平均分x2=17(88+89+91+92+92+93+90+x),∴17(635+x)=91,解得x=2.[答案]27.(2013·课标全国卷Ⅱ)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n=________.[解析]由题意知n>4,取出的两数之和等于5的有两种情况:1,4和2,3,所以P=2C2n=114,即n2-n-56=0,解得n=-7(舍去)或n=8.[答案]88.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=112,则随机变量X的数学期望E(X)=________.[解析]由题意知P(X=0)=13(1-p)2=112,∴p=12.随机变量X的分布列为:X0123P1121351216E(X)=0×112+1×13+2×512+3×16=53.[答案]53三、解答题9.某商场为吸引顾客消费,推出一项优惠活动.活动规则如下:消费每满100元可以转动如图66所示的圆盘一次,其中O为圆心,且标有20元,10元,0元的三部分区域面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时,返相应金额的优惠券.例如:某顾客消费了218元,第一次转动获得了20元,第二次获得了10元,则其共获得了30元优惠券.顾客甲和乙都到商场进行了消费,并按照规则参与了活动.图66(1)若顾客甲消费了128元,求他获得的优惠券面额大于0元的概率;(2)若顾客乙消费了280元,他总共获得的优惠券金额为ξ元,求ξ的分布列及优惠券金额不低于30元的概率.[解](1)设“甲获得优惠券”为事件A.因为假定指针停在任一位置都是等可能的,而题中所给的三部分区域的面积相等,所以指针停在20元,10元,0元区域内的概率都是13.顾客甲获得优惠券,是指指针停在20元或10元区域,所以甲获得优惠券面额大于0元的概率为P(A)=13+13=23.(2)依题意ξ的所有取值为0,10,20,30,40.由于乙每次抽奖可获得优惠券金额可以为0元,10元,20元,∴P(ξ=0)=1C13C13=19,P(ξ=10)=P(ξ=30)=1+1C13C13=29.P(ξ=20)=3C13C13=13,P(ξ=40)=19.则ξ的分布列为:ξ010203040P1929132919设“乙获得的优惠券金额不低于30元”为事件B.由分布列得P(B)=P(ξ=30)+P(ξ=40)=19+29=13.10.(2015·北京东城区调研)为迎接6月6日的“全国爱眼日”,某高中学校学生会随机抽取16名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如图67,若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”.图67(1)写出这组数据的众数和中位数;(2)求从这16人中随机选取3人,至少有2人是“好视力”的概率;(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人,记X表示抽到“好视力”学生的人数,求X的分布列及数学期望.[解](1)由题意知众数为4.6和4.7;中位数为4.75.(2)设Ai表示所选3人中有i个人是“好视力”,至少有2人是“好视力”记为事件A,则P(A)=P(A2)+P(A3)=C24C112C316+C34C316=19140.(3)X的所有可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多,故X近似服从二项分布B~3,14.P(X=0)=343=2764,P(X=1)=C13×14×342=2764,P(X=2)=C23×142×34=964.P(X=3)=143=164,X的分布列为X0123P27642764964164故X的数学期望E(X)=3×14=34.[B级能力提升练]1.已知x,y满足x-y+2≥0,x+y-2≤0,0≤y2(x∈Z,y∈Z),每一对整数(x,y)对应平面上一个点,则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为()A.45B.36C.30D.27[解析]如图所示,阴影中的整点部分为x,y满足的区域,其中整数点(x,y)共有8个,从中任取3个有C38=56种取法.其中三点共线的有1+C35=11.故可作不同的圆的个数为45.[答案]A2.某工厂经过技术改造后,降低了能源消耗,经统计该厂某种产品的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨)有如下几组样本数据:x3456y2.5344.5根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜率为0.7.已知该产品的年产量为10吨,则该工厂每年大约消耗的汽油为________吨.[解析]易知x-=4.5,y-=3.5,且样本点中心(x-,y-)在回归直线y^=0.7x+b上,从而b=3.5-0.7×4.5=0.35,故回归直线方程为y^=0.7x+0.35,∴当x=10时,y^=0.7×10+0.35=7.35(吨).[答案]7.353.(2014·日照模拟)寒假期间,我市某校学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图68所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶),若幸福度分数不低于8.5分,则称该人的幸福度为“幸福”.图68(1)求从这16人中随机选取3人,至少有2人为“幸福”的概率;(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到“幸福”的人数,求ξ的分布列及数学期望.[解](1)记至少有2人是“幸福”为事件A,由题意知P(A)=1-C34C316-C24×C112C316=1-1140-970=121140.(2)由茎叶图知任选一人,该人幸福度为“幸福”的概率为34.ξ的可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0)=143=164,P(ξ=1)=C1334142=964,P(ξ=2)=C2334214=2764,P(ξ=3)=343=2764,所以ξ的分布列为ξ0123P16496427642764E(ξ)=164×0+964×1+2764×2+2764×3=14464=94.
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