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12．1.3分层抽样（结）分层抽样的概念[例1]某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本．试确定用何种方法抽取，并写出抽样过程．[自主解答]因机构改革关系到各层人员的利益，故用分层抽样法为妥．因为16020＝8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取．又因为168＝2，1128＝14，328＝4，所以，行政人员、教师、后勤人员分别应抽取2人、14人、4人．因行政和后勤人员人数较少，可分别按01～16号和01～32号编号，然后用抽签法分别抽取2人和4人．而教师较多，所以对教师112人采用000,001，…，111编号，用随机数法抽取14人．这样就得到了符合要求的容量为20的样本．——————————————————1．判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)能更充分地反映了总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．2．分层抽样又称为“按比例抽样”，这里所说的“按比例”是指(1)总体中第m层的个体数总体中第n层的个体数＝样本中第m层的个体数样本中第n层的个体数；(2)样本中第n层的个体数总体中第n层的个体数＝样本容量总体容量.——————————————————————————————————————1．某社区有700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取8辆测试某项性能，记作③.则完成上述3项应采用的抽样方法是()A．①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样B．①用分层抽样，②用简单随机抽样，③用系统抽样C．①用简单随机抽样，②用分层抽样，③用系统抽样D．①用分层抽样，②用系统抽样，③用简单随机抽样解析：对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的2指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样．对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应用简单随机抽样．对于③，总体中的个体数较多，应用系统抽样．答案：B分层抽样的应用[例2]一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？[自主解答]用分层抽样来抽取样本，步骤是：(1)分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽95×15＝19(人)．(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．(4)综合每层抽样，组成样本．——————————————————分层抽样的操作步骤为将总体按一定标准进行分层；计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)；(5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．——————————————————————————————————————2．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，职员20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．解：因机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样方法．抽取比例为：20100＝15，故：10×15＝2；70×15＝14；20×15＝4.3∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从职员中抽取4人．因副处级以上干部与职员人数都较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人.某校共有教师302名，其中老年教师30名，中年教师150名，青年教师122名．为调查他们对新课程改革的看法，从中抽取一个60人的样本．请写出抽样过程．[错解]把302名教师编号为：1,2,3，…，302，然后用随机数表法剔除2个个体，再对剩余的300名教师重新编号为：1,2,3，…，300.因为30060＝5.故可将这300名教师分成60段，每段5名教师，先从1～5号教师中随机抽取1名教师，然后从这名教师的编号开始，每隔5名抽取一名．如：从1～5号中抽取的是3号，则抽取的这60名教师的编号依次为：3,8,13,18,23，…，298.[错因]3个层次的教师对新课程改革的看法是有较大差别的，因此应采用分层抽样，又因为教师总人数和青年教师人数均不能被60整除，此时就需先从青年教师中剔除2个个体，再进行抽样．[正解](1)把122名青年教师编号，利用随机数表法剔除2个个体．(2)因为60300＝15，30×15＝6,150×15＝30,120×15＝24，所以可将老年教师30名，中年教师150名，青年教师120名编号后，运用随机数表法，分别从中抽取6,30,24个个体，合在一起即为要抽取的60人样本．1．分层抽样适合的总体是()A．总体容量较多B．样本容量较多C．总体中个体有差异D．任何总体答案：C2．一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为()A．20,15,5B．4,3,1C．16,12,4D．8,6,2解析：三种灯泡依次抽取的个数为40×48＝20,40×38＝15,40×18＝5.答案：A3．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是()A．将总体分成几部分，按预先设定的规则在各部分抽取B．抽样过程中每个个体被抽到的机会均等4C．将总体分成几层，然后分层按照比例抽取D．没有共同点答案：B4．(2012·江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析：由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的310，利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×310＝15名学生．答案：155．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝________.解析：16n＝22＋3＋4.n＝72.答案：726．某运输队有货车1200辆，客车800辆．从中抽取110调查车辆的使用和保养情况．请给出抽样过程．解：利用分层抽样．第一步：确定货车和客车各应抽取多少辆，货车1200×110＝120(辆)，客车800×110＝80(辆)．第二步：用系统抽样法分别抽取货车120辆，客车80辆．第三步：把抽取的货车和客车组成样本．