2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析学大教育济南分公司产品教研总监戴又发一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）当0x时，若1)cos1(),21(lnxx均是比x高阶的无穷小，则的取值范围是（）（A）（2，+）（B）（1，2）（C）（21，1）（D）（0，21）【解析】由)21(ln)21ln()21(ln1xxxxx，得01，1；由121121)2(sin2sin2)2sin2()cos1(xxxxxxx，得012，2；∴21，故选B．（2）下列曲线有渐近线的是（）（A）xxysin（B）xxysin2（C）xxy1sin（D）xxy1sin2【解析】对于C，由1)1sin11(limlimxxxyxx，01sinlim)(limxxyxx，故曲线xxy1sin存在渐近线，故选C．（3）设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)1()1)(0()(，则在区间［0,1］上（）（A）)(xf≥0时，)(xf≥)(xg（B）当)(xf≥0时，)(xf≤)(xg（C）当)(''xf≥0时，)(xf≥)(xg（D）当)(''xf≥0时，)(xf≤)(xg【解析】由)1()1(),0()0(fgfg，xfxfxg)1()1)(0()(为直线，当)(''xf≥0时)(xf为下凸函数，)(xf≤)(xg，故选D．（4）曲线14722ttytx上对应于t＝1的点处的曲率半径是（）（A）5010（B）10010（C）1010（D）105【解析】由,42)(,2)(ttyttx,2)(,2)(tytx2322)]1()1([)1()1()1()1(yxxyyxK4051]364[41223，10101K，故选C．（5）设函数)(xf＝xarctan，若)(xf)(fx，则0limx22x＝（）（A）1（B）32（C）21（D）31【解析】由xxf)(211)(ξξf，得xxxarctanarctan2，3020220arctanlimarctanarctanlimlimxxxxxxxxxxxξ31)1(31lim3111lim20220xxxxx．故选D．（6）设函数),(yxu在有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数．且满足yxu2≠0及2222yuxu＝0，则（）（A）),(yxu的最大值和最小值都在D的边界上取得（B）),(yxu的最大值和最小值都在D的内部上取得（C）),(yxu的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得（D）),(yxu的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得【解析】由2222yuxu＝0知22xuA与22yuC知异号，又由yxuB2≠0得02BAC，所以函数),(yxu在区域内没有极值，而连续函数在有界闭区域D上有最大值和最小值，),(yxu的最大值和最小值都在D的边界上取得，故选A．(7)计算行列式dcdcbaba00000000（）（A）(ad－2)bc（B）－(ad－2)bc（C）22da－22cb（D）22cb－22da【解析】dccbabdcdbaadcdcbaba00000000000000002)adbc(dcba)adbc(dcbabcdcbaad，故选B．（8）设1α，2α，3α均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组1α＋k3α，2α＋l3α线性无关是向量组1α，2α，3α线性无关的（）（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件【解析】必要性显然，若对任意常数k，l，向量组1α＋k3α，2α＋l3α线性相关，则向量组1α，2α，3α线性相关；充分性不成立，若对任意常数k，l，向量组1α＋k3α，2α＋l3α线性无关，取3α为零向量，则向量组1α，2α，3α线性相关．故选Ａ．二、填空题：9~14每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．（9）dxxx15212＝．【解析】dxdxxxx14)1(1152122)21arctan21(lim21arctan211xxxx83)4(8，应填83．（10）设)(xf是周期为4的可导奇函数，且)1(2)(xxf，x∈[0,2]，则)7(f＝.【解析】因为x∈[0,2]，cxxxf2)(2，而)(xf为奇函数，所以0c，所以，1)1()1()7(fff，应填１．（11）设),(yxzz是由方程4722zyxeyz确定的函数，则),(2121dz＝．【解析】将方程两边对x求偏导数，01)22xzxzyeyz（得1222yzyexxz，0,21,21zyx代入，得21xz；将方程两边对y求偏导数，02)222yzyyzyzeyz（得122222yzyzyeyzeyz，0,21,21zyx代入，得21yz；∴)(21),(2121dydxdz．应填)(21dydx．（12）曲线L的极坐标方程是r，则L在点（r，）＝(22,)处的切线的直角坐标方程是．【解析】因为,sinsin,coscosryrx于是有ddyddx)cos(sin,)sin(cos，sincoscossindxdy，2sincoscossin2220ryxdxdy．切线的直角坐标方程是xy22．故应填22xy．(13)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上，若其线密度ρ(x)＝－2x＋2x＋1，则该细棒的质心坐标x＝．【解析】由公式直接得x＝2011351211)12()12(102102dxxxdxxxx．故应填2011．(14)设二次型),,(321xxxf＝3231222142xxxaxxx的负惯性指数是1，则α的取值范围．【解析】二次型的矩阵为0221001aaA，看顺序主子式01，01001，因为二次型的负惯性指数是1，所以00221001aa解之22a．故应填［－2，2］．三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明﹑证明过程或算步骤。（15）（本题满分10分）求极限xxtxdttetx121121ln1lim【解析】xxtxdttetx121121ln1limxdttetxxt1121lim1121limxxexx（应用罗必塔法则）210limuueuu（令ux1）210limuueuu（应用罗必塔法则）212lim0uue．（16）本题满分10分）已知函数)(xyy满足微分方程,122yyyx且,0)2(y求)(xy的极大值与极小值．【解析】由dxdydxdyyx122得dxxdyy221()1(．于是有cxxyy33323，由,0)2(y得,32c所以函数)(xyy由方程233323xxyy确定，令0)(xy，得1x，再由,122yyyx得yyyyx2222，于是12222yyxy，当1x时，01212yy）（，函数)(xy取得极大值1)1(y；当1x时，01212yy）（，函数)(xy取得极小值0)0(y．（17）（本题满分10分）设平面区域0,0,41),(22yxyxyxD，计算.22sindxdyDyxyxx【解析】dddxdyDyxyxx2021sinsincos)sin(cos22)()sin(sincoscos12021dd)(cossincoscos12021dd20sincoscos3d20)4sin(2cos22sin223d20213d4343．（18）（本题满分10分）设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx满足,)cos4(22222xxeyezyzxz若0)0(,0)0(ff，求)(uf的表达式．【解析】∵yeyefxzxxcos)cos(，)sin()cos(yeyefyzxx，yeyefyeyefxzxxxxcos)cos(cos)cos(2222，)cos()cos(sin)cos(2222yeyefyeyefyzxxxx，由题意xxeyefyzxz22222)cos(xxeyez2)cos4(．令uyexcos，则uufuf)(4)(．故4)(2221ueCeCufuu，由0)0(,0)0(ff，得41616)(22ueeufuu．（19）本题满分10分）设函数)(),(xgxf的区间ba,上连续，且)(xf单调增加，01)(xg，证明：（Ⅰ）0xabaxaxdttg,,)(，（Ⅱ）0)()()()(xdttgaabadxxgxfdxxf.【解析】（Ⅰ）因为1)(0xg，所以xaxaxadtdttgdt)(0，即xaaxdttg)(0，bax,．（Ⅱ）令xadttgxaxadttfdttgtfxF)()()()()(，则0)(aF，)())(()()()(xgdttgafxgxfxFxa)))(()()((xadttgafxfxg，由（Ⅰ）有xaaxdttg)(，即xaxdttga)(，又)(xf单调增加，所以0))(()(xadttgafxf，而1)(0xg所以0)(xF，即)(xF单调增加，所以0)()(aFbF．（20）（本题满分11分）设函数1,0,1)(xxxxf，定义函数列),()(1xfxf)(()(12xffxf，…，)(()(1xffxfnn，…，记nS是曲线)(xfyn，直线1x及x轴所围成平面图形的面积，求极限nnnSlim．【解析】由题意有xxxfxf1)()(1，xxxxxxxffxf21111))(()(12，xxxxxxxffxf3121121))(()(23，…………nxxxnxxnxxffxfnn1)1(11)1(1))(()(1．于是dxnxnnxdxnxxSn10101111)1ln(11111121010nnndxnxndxn．所以1))1ln(11limlimnnnSnnn（．（21）（本题满分11分）已知函数),(yxf满足)1(2yyf，且yyyyyfln)2()1(),(2，求曲线0),(yxf所围成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积．【解析】由)1(2yyf，得