2013年浙江高考理科试卷给出三点命题启发

浙江2013年高考理试卷留下的三点思考浙江省天台中学褚人统邮编317200今年浙江高考数学理科卷颇受争议，笔者仔细聆听《中学教研》论坛QQ群（号码199489920）里老师的争论，结合自己的对试题研究的经验，认为今年的浙江理科试卷对命题组、我们在教学、试卷命题时有三个方面值得思考．6月7日下午、数学高考结束后，天台中学三个成绩较好的理科班级（即所谓实验班级、创新班级）的考生回到教室，从面容来看有两类截然不同的情绪；一类是三年来一直在参加数学竞赛辅导的学生，他们笑容灿烂，说今年数学还好（考），从脸上挂的笑容来看，一定是考的比较理想的；另一类是没有参加数学竞赛辅导的学生，他们眉头紧闭，说今年数学比去年难多了，这一大部分学生看来显然是考得不理想的．根据笔者的多年教学和班主任经验，一份高考试卷成功与否，可以从学生（尤其是数学基础比较扎实的学生）的一出考场的即时情绪就能判断出大概来．创新班级学生基本反应比较平淡，没有两极情绪（一种或两种同时）出现，应该是一份比较理想的选拔试卷；像上述这样同时出现的两极情绪，说明今年的数学高考试卷肯定存在比较多值得商榷的地方．一、建议减少“好题”的数量纵观今年浙江理科试题，好题确实比较多，虽然，一眼扫过去，题型比较熟悉、平和，但做起来，方发现隐藏玄机（知识与技能）的试题较多．如第6题：已知R，210cos2sin，则2tan；A.34；B.43；C.43；D.34．此题类型在日常训练、高考中经常出现，最熟悉不过了；如（2008年浙江高考卷理科第8题）已知R，5cos2sin，则tan．这里满足5cos2sin只有一组解，即只满足55cos552sin的解，问题简单，既易于计算方法解决，也便于在选择支中观察方法解决．可今年的第6题就不一样了，满足210cos2sin有两组解，即10103cos1010sin或1010cos10103sin，那解决问题就要进行两次计算，还好答案（选择支）给的启示是唯一的一组结果，灵光的考生只要验证一组就够了．这样，此题有很多种解法，所有解法都要涉及到类似的问题——对出现的两种情况都要计算．因此，今年的第6题“不试不知道，一试下一跳”，表面看起来，十分的“慈祥”，做起来才知道是十分的“险恶”；更有学生，从经验或习惯出发，用的是从结果（各个选择支提供的数据）去验审条件，即化大量时间，又不一定能有结局．这是一道好题（好的三角函数试题）！既有一定的计算量，又有一定的计算技巧；既需要三角的基础知识，更需要三角的综合知识，是担当了大题的部分考试责任（今年浙江理科试卷大题中没有三角函数试题了）．纵观整份试卷，这样的好题太多了，如第7、8、9、16、17、18、22等，都是平淡中蕴涵丰富的内涵；这些试题，从单个试题来看，均按基础起点，阶梯递进，由浅入深，既避开熟题又不标新立异，坚持多角度、多层次地考查．有丰富的内涵的试题解决，就需要大量的时间，这样试题一多，整份试卷计算量就上来了，成绩分布的正态曲线的波峰横坐标就往负向移动，这种结果就无法准确体现试卷的选拔功能．所以，一份卷，如果好题的量过多，就不是一份优质试卷；一份优质的选拔试卷，平淡的量为主要份，好题的量只能占一定、很小的比例．笔者认为，今年的浙江理科试卷，如果把第7、15、16三题的运算量降下来，就是一份优秀的高考试卷了．值得一提的：处理第6题时，有学生用换元思想，即令cosx，siny结合1cossin22，条件就变得单纯和清楚了,即1210222yxyx(该方程组有两组解,几何意义是直线与圆有两个公共点)；这样方法对问题的认识会更明朗一点．另，在二倍角公式2tan1tan22tan中，对于atan和a1tan两种情况下，计算2tan结果是一致的，命题组也许是依据这个认识，命制了该试题．二、建议减少能“秒杀”解题的试题量所谓“秒杀”（俗语）做法，就是学生依赖自己敏捷的思维、扎实的基础，对当前问题进行敏锐的分析、推理，抓住题给出变化的特殊（或极端）情况，并能迅速发现解决问题的方向或途径的思维形式；也就是思维主体在解决问题时候能运用形象直感敏锐地对问题进行分解式识别、补形或进行相似、转换等辨认，迅速与有关知识组块进行联结，并整合成对问题的整体综合判断，得出解决问题的方向或途径．这种做法有点近似“直觉思维”，它也应具有①经验性、②迅速性、③跳跃性、④必然性、⑤模糊和非逻辑性等特征．笔者在研究了试卷以及注意了大家的讨论，现在明白了道理：今年的理科数学试卷能够给高水平的学生“秒杀”的试题比重过多，从而，这些试题拉开了数学最尖子学生与一般中上等学生的考试时间（一般中上学生用通性通法来解，计算量大，用的时间多），使得最后的成绩将出现明显的差异（即在125到135这一分数段上将出现中断现象）．2．1如第7题：设ABC，0P是边AB上一定点，满足ABBP410,且对于边AB上任意一点P，恒有CPBPPCPB00．则A.90ABC；B.90BAC；C.AB=AC；D.AC=BC．一般学生从经验出发，用的是对选择支进行逐一检验的、采取几何画图验审题意的条件方法．可这一试题，命题者偏偏把正确的结果放在最后一个选择支上，而每一选择支的验审需要大量的时间，所以，有点学生做得不耐烦了，就另找思路解决，也有部分坚持做到最后也是花费了大量的时间，是很大的隐性失分．当然，本题最简单的通性通法应该是坐标法（解析法），一开始，就用这方法做是最理想的选择．但是，高水平的学生，就能注意到：设C点在边AB上的射影为D，则“不等式CPBPPCPB00恒成立”就可以化为“不等式DPBPPDPB00恒成立”，立即可以直觉推理出0P是DC的中点，即D是边AB的中点，也就是AC=BC．这种做法就是“秒杀”做法．2．2再如第8题：已知e为自然对数的底数，设函数kxxexf)1)(1()(（2,1k），则A.当1k时，)(xf在1x处取到极小值；B.当1k时，)(xf在1x处取到极大值；C.当2k时，)(xf在1x处取到极小值；D.当2k时，)(xf在2x处取到极大值．如果能立即发现函数kxxexf)1)(1()(，2,1k与x轴的交点（或者所谓零点）是x=0和x=1的话，再结合一次、二次函数知识，由穿线法，就很容易发现选择支C是显然正确的，这样的做法就是“秒杀”的做法；这种做法与导数使用、逐一验证在时间上比起来大概是1比6吧．2．3上面提到的第6题，有学生可能这样做：对210cos2sin，两边进行平方得25cossin4cos4sin22，即23cossin4cos32，降次化简得2sin22cos23，从而获得结果．有人认为这也是一种“秒杀”的做法，但是笔者认为，用这种“秒杀”做法，也许是学生的偶然碰到，即运气的使然，不符合笔者上面所说一般“秒杀”做法的定义．2．4就是试卷的最后一题的也包含着多个技巧，即“秒杀”解题过程存在：题：已知Ra，设函数3333)(23aaxxxxf．（1）求)(xf在区间))1(,1(f处的切线方程．（2）当]2,0[x时，求|)(|xf的最大值．解（2）：我们知道三次项系数为正的三次函数图象总体上应该是如右所示，又结合这类三次函数的主要性质（单调性一般先递增、后递减、再递增，以及是中心对称的图形，对称中心是两个极值点的中点）．显然发现函数)(xf在区间]2,0[上图象是对称的，（1,1）就是对称中心，这个中心点纵坐标是等于1（＞0）的，横坐标是区间]2,0[的中点．考虑axxxf363)(2情况，记a3636．图1当03636a，即1a时，0363)(2axxxf，此时，)(xf在区间]2,0[递增，即当]2,0[x时|)(|xf的最大值是13|13||)2(|aaf当03636a时，即1a时，0363)(2axxxf两个根式为ax11小，ax11大（其实这里也能看出两个根关于点x=1对称）．所以，①当011ax小时（即0a），)(xf在区间]2,0[递减，即当]2,0[x时|)(|xf的最大值是33|33||)0(|aaf；②当011ax小时（即10a），)(xf在区间]2,0[先递增、后递减、再递增；由图象可以推理，当]2,0[x时|)(|xf的最大值是|))2(||,)(max(|fxf小，（这里为什么不包含|)0(|f？）；由03632axx小小得axx小小22，axaaxxxaxx242223小小小小小小）（）（；则aaxf1)1(21|)(|小；|13||)2(|af．下面对]31,0[a和)1,31(a分类讨论（过程略）．结论：43,13430,1)1(210,33|)(|aaaaaaaxf上面的由图象诱导结论过程、3小x和2小x计算过程等就是一个技巧过程，即“秒杀”的过程．这里，有时间做的学生，如果注重与不注重技巧，会使运算量差距拉大．2．5一份高考试卷，如果秒杀比重过大，那就有失公平性，即有利于部分特尖学生（尤其是那些参加数学竞赛辅导的学生）成绩拔高，成绩分布会出现断档段落，降低选拔功能．从高中教学角度来看，会加重重点中学办数学竞赛小组的兴趣，更会促使学校利用休息日补课来增加教学时间，也会使数学老师在课堂教学上，加重技巧解题比重减少通性通法解题的比重，使得教学难度提高；也将会引导常规考试命题方向的偏离．所以，笔者认为可以秒杀的题过多的试卷不是一份优质选拔试卷．三、建议命题时全方位对试卷进行考察作为高考试卷命题最后工作，要在命题原则指导下检查整份试卷的合理、可行性；检查要细心，对每一道题，要再读一读表达，再想一想各种解法，再核一核考试目的，再查一查各种分布，再探一探难度系数．换个角度“冷眼”看试题与整份试卷，估侧一下平均分，成绩分布的正态曲线是“矮胖型”还是“高瘦型”；猜测一下这份卷在广大教师与学生中的反响、评价．作为选拔考试卷的确定，还需要选择多名、各种层次的学生考一考，请经验丰富的老师再做一做，把把关．笔者研究2013年的浙江理科试卷，认为下面几个方面还可以改进的．1.好题过多．2.能“秒杀”的试题过多．3.计算量过大．由于今年大题发生变更，第18题由三角题变更为数列题，今年的第18题数列题计算量比以前的18题三角题计算量大幅提高，又三角试题分解到选择、填空中去，这些小题（第6、16题），各计算量远比以前数列小题大多了，造成整份试卷的计算量上来了，这点可能是命题组没有考虑到的．4.原来试题排列合理性有待讨论。在不变更原来试题内容情况下，根据难度，正确的排列应该是（选择题后四道排列）8、9、10、7，以及（填空题后两道排列）17、16．5.语言表达规范性有待提高。如第19题的“当3a，2b，1c时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到机会均等）2个球”的表达就容易使学生理解错误，理解为“一次性去取出两个球”，正确表达为“当3a，2b，1c时，从该袋子中依次有放回地取（每球被取到机会均等）2个球”．6.试卷的第15题存在结果的特殊性与一般的概念内涵相冲突的的错误，这个概念是“中点”概念，“中点”习惯上是在有长度的线段上的中点；虽然这个错误对考生考试不影响，但作为高考试卷，必须具有学术、逻辑上的规范性，这个错误与浙江省2013年语文卷中作者姓名、国籍弄错是同一个性质的错误．从这例，容易使在第一线的教师认为：命题组没有静下心来好好做一下试题，或其解题习惯存在问题，如解实数背景下的方程，应该考虑判别式的限制等．总之，在以后高考命题、我们一般考试命题时，上述的三个方面应引起注意。参考文献:[1]褚人统．数学高考的直觉与直觉思维[J]．中学数