14数学

配北师（必修3）§4数据的数字特征1.能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.2.通过实例理解数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.1.众数(1)定义:一组数据中出现次数＿＿＿的数称为这组数据的众数.(2)特征:一组数据的众数可能＿＿＿＿个,也可能没有,它反映了该组数据的＿＿＿＿＿.众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征.最多不止一集中趋势2.中位数(1)定义:一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于＿＿＿位置的数称为这组数据的中位数.(2)特征:一组数据中的中位数是＿＿＿的,反映了该组数据的＿＿＿＿＿.中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.中间唯一集中趋势【做一做1】某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示:则该班学生右眼视力的众数为,中位数为.答案:1.20.8视力0.10.20.30.40.50.60.70.81.01.21.5人数1134344681063.平均数(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商叫做这组数据的平均数,数据x1,x2,…,xn的平均数为 = .(2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的＿＿＿＿＿.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是＿＿＿和＿＿＿＿都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的＿＿＿,但平均数受数据中的＿＿＿＿的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.x12nxxxn平均水平众数中位数信息极端值甲65828085乙75657090【做一做2】对甲、乙二人的学习成绩进行抽样分析,各抽4门功课,得到的观测值如下:问:甲、乙谁的平均成绩好?解: = (65+82+80+85)=78, = (75+65+70+90)=75,∴甲的平均成绩较好.x甲14x乙144.标准差(1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,通常用以下公式来计算s= .可以用计算器或计算机计算标准差.222121[()()()]nxxxxxxn(2)特征:标准差描述一组数据围绕＿＿＿＿波动的大小,反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差较大,数据的离散程度较＿＿;标准差较小,数据的离散程度较＿＿.平均数大小【做一做3】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩如下表,则这100人成绩的标准差为().A. B. C.3D. 解析:这100人的总成绩为5×20+4×10+3×30+2×30+1×10=300,则平均成绩为 =3,则这100人成绩的标准差为分数54321人数20103030103210585300100 = .答案:B222221[(53)20(43)10(33)30(23)30(13)10]10021055.方差(1)定义:标准差的平方,即(2)特征:与标准差的作用＿＿＿,描述一组数据围绕平均数波动的大小.(3)取值范围:＿＿＿.1nxxxs2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．[(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2]相同[0,+∞)数据组x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为s2,标准差为s,则数据组ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a,b为非零常数)的平均数为a +b,方差为a2s2,标准差为as.xx【做一做4】下列能刻画一组数据离散程度的是().A.平均数B.方差C.中位数D.众数解析:方差能刻画一组数据离散程度的大小.答案:B6.极差(1)定义:一组数据的最＿＿值与最＿＿值的差称为这组数据的极差.(2)特征:表示该组数据之间的差异情况.极差利用了数据组中最大和最小的两个值,对极值过于敏感.但由于只涉及两个数据,便于得到,所以极差在实际中也经常应用.【做一做5】一组数据3,-1,0,2,x的极差是5,则x=.答案:-2或4大小平均数与标准差(方差)这两个数字特征在实际问题中如何应用?剖析:平均数反映的是数据的平均水平,在实际应用中,平均数常被理解为平均水平.标准差反映的是数据的离散程度的大小,反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度,标准差越小表明在样本平均数的周围越集中;反之,标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散.在实际应用中,标准差常被理解为稳定性,常常与平均数结合起来解决问题.例如,要从甲、乙两名射击运动员中选一名参加2012年伦敦奥运会,如果你是教练,你会制定怎样的选拔标准?制定怎样的选拔方案?选拔标准是:要考虑射击运动员的射击水平即平均射击环数,再就是考虑射击运动员的稳定性.当射击环数的平均数不相同时,选择平均数较大的运动员;当射击环数的平均数相同时,选择发挥稳定(标准差较小)的运动员.选拔方案:让这两名运动员在相同的环境中进行相同次数的射击,比如参加射击世锦赛、世界杯、国际邀请赛、热身赛或国内比赛,并记录每次射击的环数.然后计算两名运动员射击环数的平均数和方差,再根据选拔标准作出选择.题型一平均数、中位数、众数的应用【例题1】某公司30名职工的月工资(单位:元)如下:职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11212320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数.(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数又是多少?(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的月工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.分析:根据平均数、中位数、众数的概念求解.解:(1)平均数是 =2050(元),中位数是1500元,众数是1500元.(2)平均数是 ≈3367(元),中位数是1500元,众数是1500元.550050003500230002500220003150020303000020000350023000250022000315002030(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司职工的月工资水平.因为公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别较大,这样导致平均数与职工整体月工资的偏差较大,所以平均数不能反映这个公司职工的月工资水平.反思:平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量,它是反映数据集中趋势最常用的量,中位数可靠性较差,当一组数据中个别数据变动较大时,常用中位数表示该组数据的集中趋势.而众数求法较简便,也经常被用到.考查一组数据的特征时,这三个数字特征要结合在一起考虑.大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大值与最小值处,把最高工资作为一个单位工资的评价,这是一种错误的评价方式.题型二标准差、方差的计算【例题2】已知一个样本为x,1,y,5,其中x,y是方程组 的解,则这个样本的标准差是().A.2B. C.5D. 222,10xyxy25解析:∵x+y=2,x2+y2=10,∴ = (x+1+y+5)= [(x+y)+6]=2,s2= [(x-2)2+(1-2)2+(y-2)2+(5-2)2]= [(x2+y2)-4(x+y)+18]= ×20=5,∴s= = .x14141414142s5答案:D反思:深刻理解平均数、方差的计算公式,灵活应用x+y=2和x2+y2=10进行整体求解是提高解题速度的关键.题型三综合应用题【例题3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们最大速度(m/s)的数据如下:甲:27,38,30,37,35,31;乙:33,29,38,34,28,36.根据以上数据,试判断他们谁更优秀.分析:分别计算两组数据的平均值与方差,然后加以比较并作出判断.解: = ×(27+38+30+37+35+31)=33, = ×[(27-33)2+(38-33)2+…+(31-33)2]= ×94≈15.7,x甲162s甲1616 = ×(33+29+38+34+28+36)=33, = ×[(33-33)2+(29-33)2+…+(36-33)2]= ×76≈12.7.∴ = ,  .这说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲更稳定,故乙比甲更优秀.x乙162s乙1616x甲x乙2s甲2s乙反思:判断甲、乙两运动员成绩的优劣,通常用平均数和方差作为标准来比较,当平均数相同时,还应考察他们的成绩波动情况(方差),以达到判断上的合理性和全面性. 1(2011广东汕头期中,6)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是().A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92解析: =90+ (-1-3+3+1+6+4+0+2)=91.5.中位数= =91.5.答案:Ax1891922 2甲、乙两台机床同时生产一种零件,现要检验它们的运行情况,统计10天中两台机床每天出的次品数分别为甲:0,1,0,2,2,0,3,1,2,4;乙:2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则出次品数较少的为().A.甲B.乙C.相同D.不能比较解析: =1.5, =1.2.答案:Bx甲x乙 3已知一个样本中含有5个数据3,5,7,4,6,则样本方差为().A.1B.2C.3D.4解析: = =5,则方差s2= [(5-3)2+(5-5)2+(5-7)2+(5-4)2+(5-6)2]=2.答案:Bx35746515 4已知一组数据x1,x2,…,xn的方差是a,那么另一组数据x1-2,x2-2,…,xn-2的方差是.解析:将一组数据同时减去一个数,所得新数据的方差与原数据的方差相等.答案:a 5对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:问:甲、乙谁的平均成绩较好?谁的各门功课发展较平衡?甲6080709070乙8060708075 = ×(142+62+42+162+42)=104; = ×(72+132+32+72+22)=56.∵  ,  .∴甲的平均成绩较好,乙的各门功课发展较平衡.2s甲152s乙15x甲x乙2s甲2s乙解: = ×(60+80+70+90+70)=74; = ×(80+60+70+80+75)=73.x甲15x乙15