复变函数 (2)

习题二解答A类1．下列函数何处可导？何处解析？（1）yxzfi2（2）yxxyzf22i（3）2222iyxyxyxyxzf（4）zzfIm解（1）由于1,0,0,2yvxvyuxxu在z平面上处处连续，且当且仅当21x时，u,v才满足C-R条件，故yxvuzfii仅在直线21x上可导，在z平面上处处不解析。（2）由于2yxu，xyyu2，xyxv2，2xyv在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u,v才满足C-R条件，故yxxyzf22i仅在点0z处可导，在z平面处处不解析。（3）yxyxyxyxyxyxyxzfiii1i222222zzzzi1i1且故zf在除原点外的z平面上处处可导，处处解析。（4）由于0,1,0yvxvyuxu可知u、v在z平面上处处不满足C-R条件，故zf在z平面上处处不可导，处处不解析。2．试确定下列函数的解析区域和奇点，并求出导数。（1）3122zzzf；（2）zzzfi23；（3）112zzf；（4）1123zzzf解（1）由于131212312222zzzzzzzzzf32122zzz故zf在z平面上处处可导，处处解析。（2）由于i232zzf，知zf在z平面上处处可导，处处解析。0i12zzzf（3）由于222211212zzzzzzf知zf在除去点1z外的z平面上处处可导。处处解析，1z是zf的奇点。（4）由于233223231432131212zzzzzzzzf知zf在除去3i1211z，12z，3i1213z外的多连通区域上处处可导，处处解析，3i1211z，12z，3i1213z是zf的奇点。3．试证下列函数在z平面上任何点都不解析。（1）yxzf2i；（2）yxzf；（3）zzfRe；（4）||1zzf。证（1）由于1xu，2,0,0yvxvyu，可见C-R条件在z平面上处处不成立，故zf在z平面上任何点都不解析。（2）1xu，0,0,1yvxvyu，与（1）同理知zf在z平面上任何点都不解析。（3）1xu，0yvxvyu，与（1）同理知zf在z平面上任何点都不解析。（4）221||1yxzzf且322yxxxu，322yxyyu，0yvxv，知当0z时，C-R条件不成立，而zf在点0z处无定义，故zf在z平面上任何点都不解析。4．若zf在点0z处解析，试证zf在点0z处连续。证若zf在0z处解析，则zf在z0处可导，于是，有zzfzzfzfz0000lim'000'zfzzfzzfz，则0lim0zz，从而000000'limlimzfzzzzfzfzzfzz即zf在点0z处连续。5．判断下述命题的真假，并举例说明。（1）如果0zf存在，那么zf在0z点解析。（2）如果zf在0z点连续，那么0zf存在。（3）实部与虚部满足柯西-黎曼方程的复变函数是解析函数。（4）实部与虚部均为区域D内的调和函数的复变函数是D内的解析函数。解（1）命题假，如函数2||zzf在点z=0处可导，却在点z=0处不解析。（2）命题假。如函数222||yxzzf在z平面上处处连续，除了点z=0外处处不可导。（3）命题假。如函数xyxzzzfiRe2仅在点z=0处满足C-R条件，故zf在点z=0处不解析。（4）命题假。如函数22yxxzf+22lniyx的实部、虚部在除去点z=0外的z平面上的调和函数，但22222yxxyxu，2222yxxyyu，222yxxxv，222yxyyv可知C-R条件处处不成立，故zf不是解析函数。6．证明：如果函数ivuzf在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么zf是常数。（1）zf恒取实值。（2）zf在D内解析。（3）||zf在D内是一个常数。（4）zfarg在D内是一个常数。（5）cbvau，其中a、b与c为不全为零的实常数。（6）2uv解（1）若zf恒取实值，则0v，又根据zf在区域D内解析，知C-R条件成立，于是0yvxu，0xvyu故u在区域D内为一常数，记实常数Cu，则Civuzf为一常数。（2）若ivuivuzf在区域D内解析，则yvyvxu，xuxvyu（1）又ivuzf在区域D内解析，则yvxu，xvyu（2）结合（1）、（2）两式，有0vyvxvyuxu，故vu,在D内均为常数，分别记之为为实常数212211,,CCCuCu，则CiCCivuzf21为一复常数。（3）若||zf在D内为一常数，记为1C，则2122Cvu，两边分别对于x和y求偏导，得022022yvvyuuxvvxuu由于zf在D内解析，满足C-R条件xvyuyvxu,代入上式又可写得00yuuxuvyuvxuu解得0yvxu。同理，可解得0vyvxv故vu,均为常数，分别记为21,CvCu，则CiCCivuzf21为一复常数。（4）若zarg在D内是一个常数1C，则0zf，从而0ivuzf，且0,0,arctan0,0,arctan0,arctanargvuuvvuuvuuvzf0,00,01111vuCvuCuC总之对zfarg分别关于x和y求偏导，得0112222vuxuvxvuuvxuvxvuu0112222vuyuvyvuuvyuvyvuu化简上式并利用zf解析，其实、虚部满足C-R条件，得00yuvxuuyuuxuv解得0yuxu，同理也可求得0yvxu，即u和v均为实常数，分别记为2C和3C，从而CiCCivuzf32为一复常数。（5）若cbvau，其中a、b和c为不全为零的实常数，这里a和b不全为0，即022ba，否则此时a、b和c全为零。对方程cbvau分别对于x和y求偏导，得00yvbyuaxvbxua再利用解析函数ivuzf的实、虚部u和v满足C-R条件，得00yuaxubyubxua解得0yuxu，同理也可求得0yvxv，知函数zf为一常数。（6）若2uv，则2iuuivuzf，又zf在D内解析，其实部、虚部u和v满足C-R条件，于是xuuxuxvyuyuuyuyvxu2222或0202yuxuuyuuxu解得0yuxu，同理也可求得0yvxv，知函数zf为一常数。7．验证下列函数是调和函数，并求出以iyxz为自变量的解析函数vuzfwi。（1）0arctanxxyv（2）yxyxyyeuxsincos，i0f。（3）224yxyxyxu（4）22yxyv，02f。解：（1）由于222211yxyxyxyxv222222yxxyxv22211yxxxyxyv222222yxxyyv显然02222yvxv，故在右半面内，xyvarctan是调和函数，利用C-R条件，得yyxdxyxxdxyvdxxuu2222ln212222'yxyxvyyxyyu知0'y，从而Cy，故Cyxyxu22ln21,，xyCyxzfarctaniln2122CzCzzlnargi||ln为一解析函数。（2）由于1sinsincosyyxyyexux1sincoscosyyyxyeyuxyxyxCdyyvdxxvCdvv,0,0,0,0yxCdyxudxyu,0,0=yxxxCdyyyxyyedxyyxyye,0,01sinsincos1coscossinxyxxCdyyyxyyedxxe001sinsincos11Cyyyxyyyexexyxx0|coscoscossinCxeyyxyyexexxxxcossinCxyyxyyexcossin于是Cxyyxyyeyxyxyyevuzfxxcossinisincosi令0y，得CxxeCxxexxfxxii1iiii可知解析函数iCCCziizezfz111令10i,0Cfz，故ii1izzezfz（3）注意到xvxuzfi'，且22363yxyxxu22363yxyxyuxv从而3222363i633i'yxyxxyyxyvxuzf22222i132ii32i3zxyyxxyyx于是Czdzzdzzfzf32i1i13为一解析函数。（4）由dyyxxyxvyu2222，得xyxxyxyxdxdyyxxydyyuu22222222222又xyxyxxyxxyxxu''222222222222222222222222yxyxyxyyxyv得Cxx,0'，故Cyxxu22CyxyxyxyCyxxvuzf222222iiizCyxCCyxyxyx1i1iii。由初始条件2100Cf，21C，从而解析函数zzf121为所求。8．设u为区域D中的调和函数及yuxuzfi，f是否是D内解析函数？为什么？解因为u为调和函数，所以02222yuxu（1）又设yxuvuzfii