14东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--导数的概念及运算A

东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案0141导数的概念与运算(教案)A一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、导数及有关概念：函数的平均变化率：1.设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数()yfx相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0xxy，即0000()()()limxfxxfxfxx在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlimxoxxfxxfxfxfxfxxxx.2.导数的物理意义和几何意义：导数0000()()()limxfxxfxfxx是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化．．的快慢程度.它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率.因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为000()()()yfxfxxx3.导函数(导数):如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数()fx，从而构成了一个新的函数()fx,称这个函数()fx为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案0142()fx＝y＝xxfxxfxyxx)()(limlim00说明:导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(xfy在0x处的导数0xxy就是函数)(xfy在开区间),(ba)),((bax上导数()fx在0x处的函数值，即0xxy＝0()fx.所以函数)(xfy在0x处的导数也记作0()fx4.可导:如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导5.可导与连续的关系：如果函数)(xfy在点0x处可导，那么函数)(xfy在点0x处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()yfx的导数的一般步骤：1求函数的改变量)()(xfxxfy2求平均变化率xxfxxfxy)()(；3取极限，得导数y()fxxyx0lim7.几种常见函数的导数：0'C(C为常数)；1)'(nnnxx(Qn)；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos；1(ln)xx；奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案01431(log)logaaxex，()xxee；()lnxxaaa8.求导法则：法则1[()()]()()uxvxuxvx．法则2[()()]()()()()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux法则3：'2''(0)uuvuvvvv9.复合函数的导数：（理科）设函数()ux在点x处有导数()xux，函数()yfu在点x的对应点u处有导数uyfu，则复合函数(())yfx在点x处也有导数，且xuxuyy'''或(())()()xfxfux10.复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义：是曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线的斜率，即0()kfx，要注意“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不尽相同的，后者A必为切点，前者未必是切点.二、题型探究：探究1：导数的概念题型1．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。1已知000(2)()lim13xfxxfxx△△△，求0()fx奎屯王新敞新疆东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案01442设函数()fx在点0x处可导，求000()()lim2hfxhfxhh3已知(3)2,(3)2ff，则323()lim3xxfxx的值为.A0.B4.C8.D不存在题型2．导数的几何意义例2:已知曲线y=13x3+43.(1)、求曲线在点P（2，4）处的方程；（2）、求曲线过点P（2，4）的方程；（3）、求斜率为1的曲线的切线方程。题型3：导数的物理意义例3：某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可以近似地表示为y=√10t，则在t=40min的降雨强度东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案0145探究2：导数的运算：题型1：求导运算例4：求下列函数的导数（1）、2ln1,0()0,01sin,0xxfxxxxx（2）、f(x)=excosx(3)、f(x)=x2+tanx题型2：求导运算后求切线方程例5：已知函数f(x)=23x3−2ax2+3x(x∈R)(1)、若a=1，点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点p为切点的切线的斜率取最小值时的切线方程；（2）、求函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a。三、方法提升1、用定义求导数的步骤（1）求函数的改变量∆y；（2）：求平均变化率∆y∆x（3）、取极限（2）导数物理意义与几何意义（3）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则；（4）求切线方程时已知点是否切点至关重要。东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案0146四、反思感悟：五、课时作业一、选择题1、（06江西）对于R上可导的任意函数()fx，若满足1()xfx≥0，则必有.A(0)(2)ff21f.B(0)(2)ff≤21f.C(0)(2)ff≥21f.D(0)(2)ff21f2、设函数()fx，()gx在,ab上均可导，且()()fxgx，则当axb时，有.A()()fxgx.B()()fxgx.C()()()()fxgagxfa.D()()()()fxgbgxfb3、()fx的导函数()yfx的图象如图所示，则()yfx的图象最有可能的是4、0()sinfxx，10()()fxfx，21()()fxfx，…，1()()nnfxfx，nN，则f2013(x).Asinx.Bsinx.Ccosx.Dcosx5、若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为.A430xy；.B450xy；.C430xy；.D430xy东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案01476、曲线12xye在点24,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为.A29e2.B24e.C22e.D2e二、填空题：7、（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)fxxxf，则(2)f8、已知1cos()xfxxe，则()fx三、解答题：9、求下列函数的导数：121sinyx；2211yx；32ln1yx；411xxeye；52sin23yx；6lnxyex7sin1cosxyx；821sincosyxxxx10设t≠o,点P（t，0）是函数f(x)=x3+ax与函数g(x)=bx2+c的图象的一个公东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案0148共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。（1）用t表示a，b，c；（2）若函数f(x)−g(x)在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围。11、（湖北文）已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf,处的切线方程是122yx，求(1)(1)ff12、（天津）已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值.1讨论(1)f和(1)f函数的()fx的极大值还是极小值；2过点(0,16)A作曲线)(xfy的切线，求此切线方程.