1981年全国高考数学试题及其解析

11981年全国高考数学试题及其解析文史类一．（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B,2.A∩B.二．（本题满分8分）化简：3242222227]2)([][])(3[abababababa三．（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果奎屯王新敞新疆四．（本题满分10分）求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-π，π）上的最大值奎屯王新敞新疆五．（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明奎屯王新敞新疆六．（本题满10分）已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标奎屯王新敞新疆七．（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算奎屯王新敞新疆（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？2（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060八．（本题满分15分）ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证：截面ACB1⊥对角面DBB1D1奎屯王新敞新疆九．（本题满分18分）1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为53，求k的值奎屯王新敞新疆2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形奎屯王新敞新疆当这三角形的面积为9时，求P的坐标奎屯王新敞新疆理工农医类一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:(1)A∪B,(2)A∩B.二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2)如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.3四、写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?(2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377lg1.0092=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060八、在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB=10.(1)求直线AB和棱a所成的角;(2)求直线AB和平面Q所成的角.4(1)过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.(2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图).设AC=a,BC=b,作数列U1=a-b,U2=a2-ab+b2,u3=a3-a2b+ab2-b3,……,Uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n≥3).5文史类参考答案及解析一、解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ奎屯王新敞新疆二、解：原式=2)(38bab奎屯王新敞新疆三、解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC奎屯王新敞新疆2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD奎屯王新敞新疆四、解：.2)(,)(),(,2,2)(),4sin(2)(值在这个区间上取得最大故的一个周期的定义区间是恰好区间为周期以为振幅以所以xfxfxfxxf五、答：.sinsinsincCbBaA证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E奎屯王新敞新疆设△ABC的面积为S，则;sin21)180sin(2121AbcAbcBEACSBacADBCSsin2121又CabADBCSsin2121CabBacAbcSsin21sin21sin21将上式除以,21abc得：.sinsinsincCbBaA六、解：设AC中点为M（x,y）,则有)2,1(),(.2251,1220MyxMyx6又设AC斜率为k，则k=3奎屯王新敞新疆因此得BD的斜率为311k奎屯王新敞新疆故有直线BD的方程：(1))1(312xy又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为(2)10)2()1(22yx解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）奎屯王新敞新疆（注：用复数法解亦可奎屯王新敞新疆）七、解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答：略奎屯王新敞新疆八、证：设AC、BD交于O点奎屯王新敞新疆作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形奎屯王新敞新疆由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故AC⊥BD;又BB17⊥底面ABCD，故BB1⊥AC奎屯王新敞新疆∴AC⊥对角面BB1D1D奎屯王新敞新疆已知AC在截面ACB1内，故有截面ACB1⊥对角面BB1D1D奎屯王新敞新疆九、解：设直线与抛物线的交点为P1（x1,y1),P2(x2,y2).解方程组：xkxkxyxy4)2(2422得222121222121212221222121222121244(1)01,.4()()4(1)412.4,2,()4()4(12).()()35,(12)4(12)45,:4.xkxkkxxkxxxxxxxxkkkPPyxkyyxxkxxyykkk即故有又因在直线上故根据题设条件即解得2．设x轴上一点P的坐标为（a,0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有5|42|ah奎屯王新敞新疆依题意得△PP1P2的面积关系：则P(5,0)或P（-1,0）.1,5|,42|6,5|42|53219aaaa即8理工农医类参考答案一、解:(1)A∪B={实数}.(或A∪B=R,或A∪B=实数集合.)(2)A∩B=.(或A∩B={},或A∩B=空集.)二、解:所有可能的选举结果:(把正班长、副班长按次序来写)AB,AC,AD,BC,BD,CD,BA,CA,DA,CB,DB,DC.所有可能的选举结果:ABC,ABD,ACD,BCD.三、解:(1)必要条件(2)充分条件(3)充分条件(4)充要条件四、公式:设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则有余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.证法一:平面几何证法.如果∠A是锐角,从C作AB的垂线交AB于D,于是由勾股定理得a2=CD2+DB2=(bsinA)2+(c-bcosA)2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是钝角,从C作AB的垂线交BA的延长线于D,于是由勾股定理得a2=CD2+BD2=[bsin(180°-A)]2+[c+bcos(180°-A)]2=b2+c2-2bccosA.如果∠A是直角,cosA=0,∴a2=b2+c2=b2+c2-2bccosA.证法二:解析几何证法以A为原点,射线AB为x轴正向,建立直角坐标系,则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点间的距离公式得a2=│BC│2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.9五、解:原行列式可逐步简化如下:故原不等式为x2(x-a-b-c)0.原不等式的解是x≠0,xa+b+c.所以当n=1时等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即所以当n=k+1时等式也成立.根据(i)和(ii),就证明了对于一切自然数n等式都成立.七、解:(1)所求人口数x(亿)是等比数列10,10×1.02,10×(1.02)2,……的第21项,即x=10×(1.02)20,两边取对数,得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859(亿).答:到2000年底我国人口将达到14.859亿.10(2)设人口每年比上年平均递增率最高是y%,按题意得10×(1+y%)20≤12,即(1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性,对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答:每年比上年人口平均递增率最高是0.92%.八、解:(1)在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内,作直线BE⊥a于点E,从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C.∴∠ABC等于AB和a所成的角.∠ADC为二面角P-a-Q的平面角,∴∠ADC=120°.又AD=2,BCDE为矩形,∴CD=BE=4.连结AC,由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面.再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面,∴BC⊥AC.答:直线AB和棱a所成的角等于(2)在△ACD所在的平面内,作AF⊥CD交CD的延长线于F点.因为△ACD所在的平面⊥平面Q,∴AF⊥平面Q.在△ADF中,∠ADF=60°,AD=2,连结BF,于是∠ABF是AB和平面Q所成的角,而△ABF为直角三角形,所以答:直线AB和平面Q所成的角为九、解法一:(1)设直线l的方程为11y=k(x-2)+1,(i)将(i)式代入双曲线方程,得(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0,(ii)到此,若指出所求轨迹的参数方程是这就是所要求的轨迹方程.(2)设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,整理得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,(iii)由第二式解出k=2,但k=2不满足第一式,所以(Ⅰ)无解.答:满足题中条件的直线m不存在.解法二:(1)设l的参数方程为12其中t是参数,θ为AP的倾斜角.代入所给双曲线方程,整理得:(2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)(2)也可用设m的参数方程的方法讨论此问,得出满足条件的直线m不存在的结论.十、证法一:通项公式可写为uk=ak-ak-1b+ak-2b2-…+(-1)kbk因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1,ab=AC·BC=CD2=1.于是有13证法二:由平面几何知识算出通项公式可写为要证un=un-1+un-2成立,只要证明an+1-