1997年哈尔滨工业大学量子力学试题

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1997年量子力学考研试题一.氢原子在0t时刻处于状态rrrCr3212131210,式中,rn为氢原子的第n个本征态。(1)计算?C;(2)计算0t时能量的取值几率与平均值;(3)写出任意时刻t的波函数tr,。解:(1)利用归一化条件12131212C可知43C于是,归一化后的展开系数为8301c;4102c;833c(2)氢原子的能量本征值为22412neEn依题意知,能量的可能取值与相应的取值几率为834321,18414331,8834321,2324322421241EWeEEWeEEWeE而能量的平均值为242424243196238318419832eeeeEWEEiii(3)任意时刻t的波函数为tErtErtErrtEctriiii33221131iexp83iexp41iexp83iexp0,二.证明:(1)若一个算符与角动量算符Jˆ的两个分量对易,则其必与Jˆ的另一个分量对易;(2)在2ˆJ与zJˆ的共同本征态JM下,xJˆ与yJˆ的平均值为零,且当JM时,测量xJˆ与yJˆ的不确定性之积为最小。证明:(1)设算符Fˆ与角动量算符xJˆ及yJˆ皆对易,即0ˆ,ˆˆ,ˆyxJFJF则0ˆˆ,ˆi1ˆˆ,ˆi1ˆ,ˆ,ˆi1ˆ,ˆxyyxyxzJJFJJFJJFJF同理可知,若算符Fˆ与角动量算符xJˆ及zJˆ皆对易,则算符Fˆ必与yJˆ对易;若算符Fˆ与角动量算符yJˆ及zJˆ皆对易,则算符Fˆ必与xJˆ对易,于是,问题得证。(2)在2ˆJ与zJˆ的共同本征态JM下,xJˆ的平均值为JMJJJMJMJJMxˆˆ21ˆ由升降算符的性质可知1)1()1(ˆJMMMJJJMJ于是有0ˆJMJJMx同理可证,算符yJˆ在JM下的平均值也为零。在JM态上,22222)1(21ˆˆ21ˆˆˆˆ41ˆˆˆˆ41ˆMJJJMJJJMJMJJJJJMJMJJJJJMJMJJMzx同理可得222)1(21ˆMJJJMJJMy故有42222)1(41MJJJJxx或者写为22)1(21MJJJJyx显然,当JM时,上式取最小值2min2JJJyx三.(见2003年第3题)有一质量为m的粒子,在如下势场中运动bxaVaxbxxxV,0,0,0,0试求出束缚能级所满足的方程。解:当0VE时,四个区域的波函数分别为0)sin(sin0423121xxkBxxkAxx式中,mEk21;022VEmk由0x处波函数连续可知,0,由bx处波函数连续可知kb再利用ax处波函数及其一阶导数连续的条件bkakBkakAkbkakBakA22211221coscossinsin求出bakkkak2211tantan此即0VE时能量本征值满足的超越方程。当0VE时,四个区域的波函数分别为0expexpsin04321xxCxBxkxAxx式中,mEk2;EVm02由bx处波函数连续条件可知,0expexpbCbB或者bCB2exp再利用ax处波函数及其一阶导数连续的条件aCaBkaAkaCaBkaAexpexpcosexpexpsin利用B与C的关系式,将上两式改写为aCbaCkaAkaCbaCkaAexp2expcosexp2expsin最后,得到0VE时能量满足的超越方程12exp12expexp2expexp2exptanbabakabaabakka四.由两个自旋为21的粒子构成的体系,若两个粒子的自旋态分别处于011;2iexp2sin2iexp2cos2的态上,求体系分别处单态与三重态度几率。解:依题意可知,两个粒子构成的体系处于状态2iexp2sin2iexp2cos2iexp2sin2iexp2cos221两个自旋为21粒子的总自旋量子数1,0S,其单态为2100故体系处于单态度几率为2sin212iexp2sin212100)0(2222SW而三重态为11112110体系处于三重态的几率为2cos2sin212iexp2cos2iexp2sin21112222211MMSW两者几率之和12sin2cos22五.一个质量为、角频率微0的线谐振子,受到微扰2ˆxW的作用,(1)用微扰论求能量的一级修正;(2)求能量的严格解,并与(1)的结果比较。解:(1)无微扰线谐振子的哈密顿算符0ˆH满足nEnHn00ˆ其中,0021nEn能量的一级修正为kxkkWkEk21ˆ利用公式2,,2,222112)1(21nmnmnmnnnnnnxm得到能量的一级修正为02121122kkEk能量近似到一级修正的结果为200121kEk(2)为了求得严格解,改写体系的哈密顿算符220222202212ˆ212ˆˆxpxxpH若令2022121即20020212则体系的严格解为200212121kkEk因为是一个小量,故一级近似的结果为290121kEk上式与微扰论的一级近似完全一致。

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