3运筹学第二章

主讲教师：联系电话：短号：E-mail:清华大学出版社《运筹学教程》（第三版）运筹学基础胡运权主编教材运筹帷幄之中决胜千里之外运筹学课件第二章Linearprogranming对偶理论与灵敏度分析例一美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如下表所示。问该公司应制造Ⅰ、Ⅱ两种家电备多少件,使获取的利润为最大。设：x1——A产品的生产量x2——B产品的生产量利润maxz=2x1+x2约束条件5x2≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1，x2≥0st.第一节线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出5x2+x3=156x1+2x2+x4=24x1+x2+x5=5x1，x2，x3，x4，x5≥0约束条件st.利润maxz=2x1+x2+0x3+0x4+0x51）标准化２）写出初始单纯形表（假设存在有单位矩阵）C21000θCBXBbx1x2x3x4x5000x3x4x515245051006201011001σ21000３）最优解检验（唯一解、无限多解、无界解和无解）X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)Z*=17/2C21000θCBXBbx1x2x3x4x5021x3x1x215/27/23/20015/4-15/21001/4-1/2010-1/43/2σ000-1/4-1/2一个问题？市场上设备A、设备B和调试工序每小时值多少钱？在什么价位时，可以出租或去租借适当数量的资源来扩大生产规模？6y2+y3分析设：y1—设备A值的价值y2—设备B值的价值y3—调试工序值的价值≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2+5y3总价值miny1,y2,y3≥0st.6y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2+5y3miny1,y2,y3≥0st.z'=-15y1-24y2-5y3maxst.6y2+y3–y4=25y1+2y2+y3–y51=y1,y2,y3,y4,y5=0C-15-24-500-M-MθCBYBby1y2y3y4y5y6y7-M-My6y721061-10105210-101σ5M-158M-242M-5-M-M00问题求解6y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2+5y3miny1,y2,y3≥0st.z'=-15y1-24y2-5y3maxst.6y2+y3–y4=25y1+2y2+y3–y51=y1,y2,y3,y4,y5=0C-15-24-500θCBYBby1y2y3y4y5-24-5y2y31/41/2-5/410-1/41/415/2011/2-3/2σ-15/200-7/2-3/2Y=(0,¼,½,0,0)z'=-17/2z=17/2问题求解Y*=(0,¼,½,0,0)问题分析问题的解6y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2+5y3miny1,y2,y3≥0st.问题：？原问题：利润maxz=2x1+x2约束条件5x2≤15y16x1+2x2≤24y2x1+x2≤5y3x1，x2≥0st.问题的解X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)Z*=17/2Z*=17/25*3/2=15/215＜6*7/2+2*3/2=2424=7/2+3/2=55=结论•两个问题的最优解的值一致•最大值问题的最优解是最小值问题的可行解•一个问题的剩余变量（松弛变量）不为0（即有资源剩余），则对应问题的解为0•一个决策变量不为0，则对应的问题的约束条件的剩余变量(松弛变量)为0(即无资源剩余)估价——影子价格（即增加单位资源所得到的贡献）Z=ω=CX=YbZ/b=(Yb)'=Y二、对称形式下对偶问题的一般形式对称形式的定义对称形式X≥0st.AX≤bmaxz=CX其中：C=（c1，c2,…,cn)b=（b1，b2,…,bm)TX=（x1，x2,…,xn)TY=（y1，y2,…,ym)TA=a11a12…a1na21a22…a2n┇┇…┇am1am2…anmY≥0st.ATY≥CTminw=YTb利润maxz=2x1+x2约束条件5x2≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1，x2≥0st.6y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2+5y3miny1,y2,y3≥0st.三、非对称形式的原对偶问题关系非对称形式？x1≥0,x2≤0,x3无约束st.a11x1+a12x2+a13x3≤b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3≥b3maxz=c1x1+c2x2+c3x3x1,x2',x3'，x3≥0st.a11x1-a12x2'+a13x3'-a13x3≤b1a21x1-a22x2'+a23x3'-a23x3≤b2-a21x1+a22x2'_a23x3'+a23x3≤-b2-a31x1+a32x2'-a33x3'+a33x3≤-b3maxz=c1x1-c2x2'+c3x3'-c3x3y1,y2',y2，y3'≥0st.a11y1+a21y2'–a21y2-a31y3'≥c1-a12y1-a22y2'+a22y2-a32y3'≥-c2a13y1+a23y2'–a23y2-a33y3'≥c3-a13y1-a23y2'+a23y2+a33y3'≥-c3minw=b1y1+b2y2'-b2y2-b3y3'minw=b1y1+b2y2+b3y3a11y1+a21y2+a31y3≥c1a12y1+a22y2+a32y3≤c2a13y1+a23y2+a33y3=c3st.y1≥0,y2无约束，y3≤0对偶规则——变量、约束与系数原问题有m个约束条件，对偶问题有m个变量原问题有n个变量，对偶问题有n个约束条件原问题的价值系数对应对偶问题的右端项原问题的右端项对应对偶问题的价值系数原问题的技术系数矩阵转置后为对偶问题系数矩阵原问题的约束条件与对偶问题方向相反原问题与对偶问题优化方向相反原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）maxz=CXAX(≤＝≥)bX(≤＝≥)0或无约束minw=YbYA-T(≤＝≥)CY(≤＝≥)0或无约束有n个决策变量xj(j＝0、2……n)xj≥0变量xj≤0xj无约束有n个约束条件对应的约束为≥约束对应的约束为≤对应的约束为＝有m个约束条件对应的约束为≤约束对应的约束为≥对应的约束为＝有ｍ个决策变量yj(j=１,2……m)yj≥0变量yj≤0yj无约束对偶规则——变量与约束对应关系第二节对偶问题的基本性质X≥0st.AX≤bmaxz=CXX,Xs≥0st.AX+IXs=bmaxz=CX+0XsCC0CBXBbXXs0XsbAIσCCBCN0CBXBbX1X2Xs0XsbBNIσCBCN0CCBCN0CBXBbX1X2XsCBXsB-1bB-1BB-1NB-1IσCB-CBB-1BCN-CBB-1N0-CBB-1ICCBCN0CBXBbX1X2XsCBXBB-1bB-1BB-1NB-1Iσ0CN-CBB-1N-CBB-1一、单纯形法计算的矩阵描述C21000θCBXBbx1x2x3x4x5x3x4x515245051006201011001σC21000θCBXBbx1x2x3x4x5x3x1x215/27/23/20015/4-15/21001/4-1/2010-1/43/2σB与B-1B-1=15/4-15/201/4-1/20-1/43/2B=105062011C21000CBXBbx1x2x3x4x5021x3x1x215/27/23/20015/4-15/21001/4-1/2010-1/43/2σ000-1/4-1/2-σ0001/41/2利润maxz=2x1+x2约束条件5x2≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5x1，x2≥0st.6y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2+5y3miny1,y2,y3≥0st.C-15-24-500CBYBby1y2y3y4y5-24-5y2y31/41/2-5/410-1/41/415/2011/2-3/2σ-15/200-7/2-3/2-σ15/2007/23/2Y=(0,¼,½,0,0)X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)问题变量问题剩余变量二、原问题和对偶问题解的关系第二节对偶问题的基本性质对称性：对偶问题的对偶问题是原问题弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标函数值，不大于其对偶问题任意可行解的目标函数值。P56推论无界性：原问题有可行解且z无界，对偶问题无可行解。对偶定理：若原问题与其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解且最优解对应的目标函数值相等。若原问题最优基为B，则其对偶问题最优解Y*=CBB-1互补松弛性：需要说明的是：这些性质同样适用于非对称形问题TT对偶定理的证明X≥0st.AX≤bmaxz=CX对称形式Y≥0st.ATY≥CTminw=YTbCCBCN0CBXBbX1X2XsCBXsB-1bB-1BB-1NB-1IσCB-CBB-1BCN-CBB-1N-CBB-1原问题为优解σ≤0，即：CB-CBB-1B≤0CN-CBB-1N≤0-CBB-1≤0C-CBB-1A≤0令YT=CBB-1,则有：CBB-1≥0ATY≥CTY≥0w=YTb=CBB-1b=z即此时原问题与对偶问题的解的值是相等的。则可以得到：Y*=(0,¼,½,0,0)互补松弛性：问题的解6y2+y3≥25y1+2y2+y31≥z=15y1+24y2+5y3miny1,y2,y3≥0st.对偶问题：？原问题：利润maxz=2x1+x2约束条件5x2≤15y16x1+2x2≤24y2x1+x2≤5y3x1，x2≥0st.问题的解X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)Z*=17/2Z*=17/25*3/2=15/215＜6*7/2+2*3/2=2424=7/2+3/2=55=互补松弛性•当原问题约束bi，xsi0,则yi=0未充分利用。•yi0,原问题约束为等式。资源得到充分利用，即xsi=0。第三节影子价格一、原问题是利润最大化的生产计划问题11222211112211121122222211221212max..0nnnnnnmmmnnnmmnnnnmzcxcxcxstaxaxaxxbaxaxaxxbaxaxaxxbxxxxxx单位产品的利润（元/件）产品产量（件）总利润（元）资源限量（吨）单位产品消耗的资源（吨/件）剩余的资源（吨）消耗的资源（吨）二、对偶问题是资源定价问题112211121211112122222211221212minyyy..yyyyyyyyyyyyyyyyyy0mmmmmmmmnnmnmmnnmmmmnybbbstaaacaaacaaac资源限量（吨）资源价格（元/吨）总利润（元）对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（ShadowPrice）原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润maxz=miny三、资源影子价格的性质影子价格代表在资源最优利用条件下对单位第i种资源的估价。市场价格是已知数，相对稳定。影子价格依赖于资源的利用情况，是未知数。因企业生产任务、产品结构等的变化而变化。资源影子价格是一种边际价格■影子价格越大，说明增加这种资源越带来的z增加越多，该资源是相对紧缺的。■影子价格越小，说明增加这种资源越带来的z增加越少，该资源是相对不紧缺的。■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于0**yiizibi最大利润的增量第种资源的边际利润第种资源的增量1122yyyyiimmzbbbb1122yy()yyiiimmzzbbbbbiiybzw1w2wm影子价格是一种机会成本增加单位资源可以增加的利润减少一件产品可以节省的资源1