第三章 空间力系2

空间汇交力系合力的计算空间汇交力系平衡的充要条件力对点的矩——力矩矢力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩之间的关系xyzOzxyOyzxOyFxFxFzFzFyF)()()(FMFMFM)()()()()()(FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMM知识回顾§3-3空间力偶21.概念力偶是力系的基本元素。由一对等值、反向不共线的力组成。两力线距离d力偶臂。其作用面称旋转平面。力偶对空间任意点的合力矩为M=Fd，称力偶矩。力偶矩有两个要素：大小M=Fd；方向（右手螺旋法则）。MF'Fd2.空间力偶的矢量表达式3'')'()(FrFrFrrFrFrFMFMMBABABAOOOMBArF'FdxyzAArBrrBABBABAABBABArrrrrrrrrrrrMO(F)=r×FM与O点位置无关。空间力偶是自由矢量3.空间力偶等效定理4zzyyxxMMMMMM21212121MMOxyz1r1F1'F1d1M2r2F2'F2d2M作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两个力偶等效。推论：力偶的性质（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。（3）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。（4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。==作用等效定理：在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两个力偶等效。4.空间力偶系的合成与平衡60000zyxMMMMziyixiiMMM,,MM合成空间力偶系统的合力偶，为各力偶的矢量和。平衡对于空间力偶系统平衡的充要条件：合力偶矩等于零，即各力偶矩的三个分量代数和为零。7工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。例题8将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。可得mN1.19345cos45cosmN80mN1.19345cos45cos5412543MMMMMMMMMMzyxmN6.284222zyxMMMM所以合力偶矩矢的大小6786.0cos2811.0,cos6786.0,coskMjMiM,合力偶矩矢的方向余弦解：A§3-4空间任意力系向一点的简化9)()()('RRRRxiiyiiOzziixiiOyyiiziiOxiOzzyyxxiFyFxMFxFzMFzFyMFFFFFFMMFF简化中心；主矢：矢量和、主矢的分量；主矩：各力对简化中心点之矩的矢量和；主矩的分量。主矢与简化中心的位置无关。力系的主矢如果非零，则主矩值与简化中心的位置有关。1.简化简化理论依据：力线平移定理odoA)(0FMMFF力线平移定理：作用于刚体上的任一力,可平移至刚体的任意一点,欲不改变该力对于刚体的作用,则必须在该力与指定点所决定的平面内加一力偶,其力偶矩矢等于力对于指定点之矩矢.A1A2An1F2FnF0F0M1m2mnm1F2FnFRRFFFF''000)(MFMMMo空间任意力系向任一点简化的结果,可得到一力和一力偶,该力作用于简化中心；其力矢等于力系的主矢；该力偶的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩。与平面力系一样,空间力系的主矢与简化中心的位置无关,而主矩一般将随着简化中心的位置不同而改变。2．空间任意力系的简化结果分析（四种情形）1简化结果为一力偶主矢F’R=0，主矩MO≠0。此力系简化结果与简化中心位置无关。2简化结果为一合力主矢F’R≠0，主矩MO=0，主矢是合力FR，作用线过简化中心；此力系若向其它点简化，简化结果不同。即主矩不再为零。简化结果与简化中心位置有关。若空间任意力系可以合成为一个合力时,则其合力对于任一点或轴之矩等于力系中各力对于同一点或轴之矩的矢量和或代数和,即空间力系合力矩定理13合力的大小和方向与主矢相等，RRFF作用线距简化中心O的距离RFMOdOMOFR'（a)RFOO'd(c)RFRFRFOO'd(b)此时分三种情况讨论。OMFR)a(可进一步简化成一合力3主矢F’R≠0，主矩MO≠014OMF//)b(R原力系简化成力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。15OMFR)c(这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋。0,0(4)ROMF这就是下节要讨论的空间任意力系的平衡§3-5空间任意力系的平衡方程000000zyxzyxMMMFFF000yxzMMF1.平衡方程充要条件：力系主矢为零，对任意点主矩为零。空间任意力系有六个独立的平衡方程。适当选取坐标系和矩轴，可以使方程得到简化。在三个力分量方程中，力偶矩不出现。2.空间平行力系有三个独立的平衡方程。若力系关于z平行，则3.空间约束xyzAxFAyF物体的空间运动有6种可能，沿x、y、z三方向的平移，绕x、y、z三轴的转动，称为6个自由度。每限制一个自由度的平移，就产生此方向的约束力，每限制一个自由度的转动，就产生绕此轴的约束力偶。示例：蝶形铰链限制蓝板沿x、y方向移动，理论上也限制绕x、y轴转动和沿z方向移动，但实物在上述方向上相对薄弱，无法限制这些运动。18192021222324例：如图所示三轮小车，自重Ｐ=8kN，作用于E点，载荷F1=10kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。25以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析如图。0m2.1m6.0m6.0m8.0,00m2m2.1m2.0,00,0111BDyDxDBAzFFPFMFPFMFFFPFFFF列平衡方程kN423.4kN777.7kN8.5ABDFFF解方程得解：PmgPCNFCAFCBF例：质量为10kg的圆桌,直径为1.2m,三个脚A,B,C三等分圆周.在桌面上的D点作用一铅垂力P=200N,OD=0.3m.求圆桌脚A,B,C对地面的压力。【解】作受力图。为空间力系，取z轴与mg作用线一致0,0mgPFFFFCNBNANZ030sin)2/30sin()30sin(RmgPRRFRRCN,0)(FMAB,0)(FMAC030sin30sin2)30sin(mgRRpFRRBNNFNFNFCNBNAN166,66,66解以上各式得圆桌对地面的压力为NFNFNFCNBNAN166',66',66'例（略）：在图中胶带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2000N。已知胶带轮的直径D=400mm，曲柄长R=300mm，胶带1和胶带2与铅垂线间夹角分别为q和β,q=30o,β=60o，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。29以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。060cos30cos,000,0060sin30sin,02121BxAxzyBxAxxFFFFFFFFFFFF列平衡方程解：30N7991N3483N3979N0041N0006N000321BzBxAzAxFFFFFF解方程得又有F2=2F10m4.0m2.060sinm2.030sin,002,00m4.0m2.0m2.060cosm2.030cos,0211221BxzyBxxFFFMFFDFRMFFFFMFFF31§3-6重心xyiziyiFixOz2FnF1FRFCyCxiiiCiiiCiiCyiiCxFyFyFxFxxFxFMyFyFMRR1.平行力系的中心（解析推导）假定力系Fi，i=1,2,…,n，关于z轴平行，作用点在(xi,yi,zi)，合力为FR，作用点(xC,yC,zC)中心坐标为：322.质点系的重心iiiCiiiCiiCxiiCymymymxmxgmymgyMgmxmgxMxyOzGiGirCrixiyizCxCzCy重心位置的推导质点系质量mi，重力Gi=mig，i=1,2,…,n，1)重力关于z轴平行，质点位矢为ri，坐标如图合重力为G，重心位矢为rC，则33iiiCiiiCiiiCiiCxiiCzmzmzmymymxmxgmzmgzMgmxmgxMxyOzGiGirCrixiyizCxCzCyiiiCiiiCiiiCmzmzmymymxmxiiCmmrr2）将质点系和坐标系绕x轴逆时针刚体转动90°，就等于仅将重力绕x轴顺时针转动90°。此时重力关于y轴平行，又得综合两次结果342.质点系的重心VVzzVVyyVVxxVCVCVCdddVCVVdrr质点系的重心也是质量中心，称为质心。匀质连续体的质心坐标为匀质连续体的质心位置的判断：在对称轴上；在对称中心上；对角线交点上。空间汇交力系合力的计算空间汇交力系平衡的充要条件力对点的矩——力矩矢力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩之间的关系xyzOzxyOyzxOyFxFxFzFzFyF)()()(FMFMFM)()()()()()(FFMFFMFFMzzOyyOxxOMMM小结小结空间力偶的定义、大小、方向、性质空间力偶的合成空间力偶的平衡条件空间任意力系的简化空间力系的平衡方程平行力系重心