几个常用函数的导数

练习1、求函数y=f(x)=c的导数。0)()(xccxxfxxfxy因为00limlim00xxxyy所以1)()(xxxxxxfxxfxy因为11limlim00xxxyy所以练习2、求函数y=f(x)=x的导数探究？(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？在同一平面直角坐标系中，画出y=2x,y=3x,y=4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数。xxxxxxfxxfxy22)()()(因为xxxxyyxx2)2(limlim00所以练习3、求函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxxx2)(2222你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。由函数y=x，y=x2，y=x3的导数为1，2x，3x2y'=3x2你猜测y=xn导数是什么?y'=nxn-1xxxxxxfxxfxy11)()(因为22001)1(limlimxxxxxyyxx所以练习4、求函数y=f(x)=-的导数1xxxxxxxxxxx21)()(探究？画出函数的图象。根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程。1yx求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy11.(),'()0;2.(),'();3.()sin,'()cos;4.()cos,'()sin;5.(),'()ln(0);6.(),'();17.()log,'()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaaafxefxefxxfxaaxa公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,'();fxxfxx则基本初等函数的导数公式练习求下列函数的导数。(1)y=5(2)y=x4(3)y=x-2(4)y=2x(5)y=log2x0y34xy1ln2yx3322xxy2ln2xyxxy)2(41)1(xy思考如何求下列函数的导数：例2假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关系其中p0为t=0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?tptp%)51()(0解：根据基本初等函数导数公式表，有05.1ln05.1)('ttp)/(08.005.1ln05.1)10('10年元p因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx例3求函数y=x3-2x+3的导数.解：因为)32(3xxy)3()2()(3xx232x所以，函数y=x3-2x+3的导数是2'32yx5232(1)2(2)2354(3)3cos4sin(4)sincos(5)2sincos2122(6)(1)(2)xyeyxxxyxxyxxxxxyxyxx练习求下列函数的导数。例4求下列函数的导数:22212(1);(2);1(3)tan;(4)(23);yxxxyxyxyxx答案:;41)1(32xxy;)1(1)2(222xxy;cos1)3(2xy2103(4);2xyx例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为)10080(1005284)(xxxc求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90％（2）98％解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数)'1005284()('xxc2)100()'100(5284)100('5284xxx2)100()1(5284)100(0xx2)100(5284x84.52)90100(5284)90(')1(2c因为所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨1321)98100(5284)98(')2(2c因为所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨例6某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.(2)即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,,0)(,3212)(23tstttts令故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.43214164sttt(1)此物体什么时刻在始点?(2)什么时刻它的速度为零?例7已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,2,1xyS对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②),2(2,2xyS因为两切线重合,.02204)2(222121222121xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).复合函数的概念''')(),())((xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数例4求下列函数的导数2)32()1(xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32()1(22xuuyxy2'''()'(23)'812xuxyyuuxx105.0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105.0)1(105.0xueyeyux0.051'''()'(0.051)'0.05xuxuxyyuexe))(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin()1()cos(cos)'()'(sin'''xuxuuyyxux函数求导的基本步骤：1，分析函数的结构和特征2，选择恰当的求导法则和导数公式3，整理得到结果求下列函数的导数2cos2sin.1xxxy)32(sin.22xy3.y=xx1111如下函数由多少个函数复合而成：22)12(sin.312.22sin.1xyxyxy小结：复合函数y=f(x)要先分解成基本初等函数y=g(u),u=h(v),v=i(x)等，再求导：y’x=y’uu’vv’x根据函数式结构或变形灵活选择基本初等函数求导公式或复合函数求导方法