等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的性质与判定在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.(1)若将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像是什么?DABC(2)找出图中的全等三角形以及所有相等的线段和相等的角.你的依据是什么?所得的像是△ACD△ABD≌△ACD相等的线段:AB=AC,BD=CD相等的角:∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.依据:轴对称变换的性质—轴对称变换不改变图形的形状和大小.1.∠B=∠C2.BD=CD,即AD为底边上的中线3.AD⊥BC,即AD为底边上的高问题:由已知AB=AC得结论∠B=∠C用文字如何表述？等腰三角形的两个底角相等.已知:AB=ACADCB可以说成“在同一个三角形中,等边对等角”结论:,∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.简称“等腰三角形三线合一”ADCB如果已知AB=AC,AD⊥BC(AD是底边上的高).那么有什么结论?如果已知AB=AC,BD=CD(AD是底边上的中线).那么有什么结论?顶角平分线底边上的中线底边上的高BD=CD(AD是底边上的中线),∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).AD⊥BC(AD是底边上的高),∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线)（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠____=∠____，___=___（2）∵AB=AC，AD是中线，∴___⊥___，∠____=∠____（3）∵AB=AC，AD是角平分线，∴___⊥___，___=___BADCADBDCDADBCADBCBADCADBDCD等腰三角形三线合一性质应用的几何语言，如图所示，在△ABC中ADCB课本引例：将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？DAB性质运用一：生活实际探究:如图,已知∠ABC=20°,BD=DE=EF=FG.∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线有几条?若∠ABC=10°呢?试一试,并说明理由.CAGEFDB如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿实线剪开,再把它展开,得到的△ABC是等腰三角形吗?ACBDABC(3)EF等腰三角形两腰上的中线相等ABC(4)EF等腰三角形两底角平分线相等ABC(5)EF等腰三角形两腰上的高相等利用类似的方法,你还可以得到等腰三角形中哪些线段相等?ABCEFDE、DF分别是AB、AC边上的中线DABDCDE、DF分别是∠ADB、∠ADC的角平分线EF(1)ABDCEAD上任意一点与B、C的连接线(2)⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.①顶角+2×底角=180°②顶角=180°－2×底角③底角=（180°－顶角）÷2④0°＜顶角＜180°⑤0°＜底角＜90°结论:在等腰三角形中,40°35°，35°70°,40°或55°,55°例如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30°，求∠1和∠ADC的度数.ABC··D12另解:因为等腰三角形的“三线合一”，所以AD是△ABC的顶角平分线、底边上的高，即∠1=∠2，∠ADC=90°因为∠BAC=180°-30°-30°=120°所以∠1=2∠BAC=120°2=60°.答:∠1为60°,∠ADC为90°.·30°∟1.等腰三角形的腰长等于9,另一边长等于4,那么周长=___________.2.等腰三角形的腰长等于另一边的2倍,周长为30,那么它的各边长分别为_____________.3.等腰三角形的一边长比腰长多2cm,周长等于29cm,则三边长分别为_________________.填空题:2212，12，6.9，9，11.4.正三角形的边长等于8,则周长等于_____________.5.等边三角形的周长等于72cm,则边长=______________.6.等腰三角形若两边长为3和7,则其周长为___________.7.在等腰三角形中,一个内角为30°,则另外两个内角为______________.填空题:24241775°,75°或或30°,120°一、复习：1、等腰三角形的性质定理是什么？等腰三角形的两个底角相等。（可以简称：等边对等角）2、这个定理的逆命题是什么？如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。3、这个命题正确吗？你能证明吗？自学指导：阅读课本P73—74内容，思考并回答下列问题：等腰三角形的判定定理与性质定理有何不同？等腰三角形判定定理与性质定理的证明思路是否一样？两个推论是怎样得到的？你有什么新的发现吗？8分钟后，比谁能回答以上问题，并能做与例题类似的练习。已知：⊿ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作∠BAC的平分线AD在⊿BAD和⊿CAD中，∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD∴⊿BAD≌⊿CAD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）1ABCD2推论1证明已知：如图，⊿ABC中，∠A=∠B=∠C求证：AB=AC=BCABC证明：在⊿ABC中∵∠A=∠B（已知）∴BC=CA（等角对等边）同理CA=AB∴BC=CA=AB问题：如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？推论2证明第一种情况：当顶角是600时。第二种情况：当底角是600时。已知：⊿ABC中，AB=AC，∠A=600。求证：AB=AC=BCABC证明：⊿ABC中∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）∵∠A=600∴∠B=∠C=600∴AB=AC=BC已知：⊿ABC中，AB=AC，∠B=600。求证：AB=AC=BCABC证明：⊿ABC中∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）∵∠B=600∴∠C=600∴∠A=600∴AB=AC=BC例1求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。ABCDE12如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC。求证：AB=AC分析：从求证看：要证AB=AC，需证∠B=∠C，从已知看：因为∠1=∠2，AD∥BC可以找出∠B，∠C与的关系。已知：证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等边对等角）。ABCDE12例3在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么?ABC解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形内角和等于180°）∴∠C＝180°－∠A－∠B（等式的性质）＝180°－40°－70°＝70°，∴∠C＝∠B．∴△ABC是等腰三角形．（等角对等边）三、等腰三角形的识别方法（应用）：40°70°?课本P99页“做一做”四、特殊的等腰三角形△ABC,△ACD,△BCD45°45°45°45°△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CD是底边上的高，那么图10.3.6中共有哪几个等腰直角三角形?同时标出图10.3.6所有锐角的度数。BADC图10.3.6等边四、特殊的等腰三角形1.三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？你能说明理由吗？2.有两个角是60°的三角形是等边三角形吗？3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？BAC有三个角相等的三角形是等边三角形。思考：结论：（2）三角形P99页／练习３1.如图，在等腰三角形△ABC中两底角的平分线BE和CD相交于O点，那么△OBC是什么三角形？为什么？ODEABC六、要做到熟练运用知识解决问题ODEABC解：△OBC是等腰三角形．∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB(已知)又∵AD=AC(已知)∴∠ABC=∠ACB．（等边对等角）∴∠OBC＝∠OCB∴OB＝OC（等角对等边）∴△ABC是等腰三角形.∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB(角平分线定义),2121则∠ABC=∠ACB．21212.如图，在△ABC中，DE||BC,∠A=70°,∠C=55°,则△ADE是什么三角形？为什么？BDECA六、要做到熟练运用知识解决问题70°55°??)(55C,70已知ABDECACAB180555570180)BC(||DE已知55,55CAEDBADE)(等量代换AEDADE是等腰三角形ADE解六、要做到熟练运用知识解决问题2.若等腰三角形的一个内角是45°,则它的顶角为90°()1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8,则它的周长为.21或18总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!1、如果等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为。2、如图，在三角形ABC中，BC=10，AD=BD，若三角形ACD的周长为18，则AC长为。ABCD例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E∴∠BEC=∠CDB=90°∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠1=∠2（等角的余角相等）∴BM=CM（等角对等边）ABCD12EM说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.求证：AC=BD.证明：∵BD=DC，∠B=15°∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=90°∴AC=DC∴AC=BD2121ABCD21例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求∠A的度数.分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。解：设∠A=x，∠EBD=y，∠C=z∵AB=AC∴∠ABC=∠C=z∵BD=BC∴∠C=∠BDC=z∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=90°∵AD=DE∴∠A=∠AED=x又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）∴解得x=45°即：∠A=45°1802zzxyxzyxABCDExyzxyz例5.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中点∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角对等边）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例6.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，求证：△DEF也是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC，∠A=∠C∵CE=BD∴BC－BD=AC－CE∴CD=AE在△AEF和△CDE中∴△AEF≌△CDE（SAS）∴EF=DE同理可证EF=DF∴EF=DE=DF∴△DEF是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：①证明三边相等②证明三角相等③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例7如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上