椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)

第1页共56页椭圆与双曲线常见题型归纳题型一：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N：2yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(0x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0x；若不存在，请说明理由。分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N：2yx相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的32倍。运用弦长公式求弦长。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)lykx，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy。由2(1)ykxyx消y整理，得2222(21)0kxkxk①由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410kkk即2104k②由韦达定理，得：212221,kxxk121xx。则线段AB的中点为22211(,)22kkk。线段的垂直平分线方程为：221112()22kyxkkk令y=0,得021122xk，则211(,0)22EkABE为正三角形，211(,0)22Ek到直线AB的距离d为32AB。221212()()ABxxyy222141kkk212kdk22223141122kkkkk解得3913k满足②式此时053x。思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的32倍，将k确定，进而求出0x的坐标。例题2、已知椭圆1222yx的左焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与2x相切的圆的方程；第2页共56页（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。解：(I)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-上21设M(-t,21)，则圆半径：r=|(-21)-(-2)|=23由|OM|=r，得23)21(22t，解得t=±2，∴所求圆的方程为(x+21)2+(y±2)2=49.(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，代入22x+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程一定有两个不等实根,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1+x1=-,12422kk2012212(),221kxxxk002(1)21kykxk∴AB垂直平分线NG的方程为)(100xxkyy令y=0，得22002222121Ckkxxkykk2221121242kkk∵.021,0cxk∴点G横坐标的取值范围为（0,21）。技巧提示：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。第3页共56页练习1：已知椭圆)0(1:2222babyaxC过点)23,1(，且离心率21e。（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:kmkxyl与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点)0,81(G，求k的取值范围。分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到,ab的关系式，再根据“过点)23,1(”得到,ab的第2个关系式，解方程组，就可以解出,ab的值，确定椭圆方程。第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出,km的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点)0,81(G，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得,km的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。解：（Ⅰ）离心率21e，2213144ba，即2243ba（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914ab，（1）式代入上式，解得24a，23b，椭圆方程为22143xy。（Ⅱ）设1122(,),(,)MxyNxy，弦MN的中点A00(,)xy由223412ykxmxy得：222(34)84120kxmkxm，直线)0(:kmkxyl与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0mkkm，即2243mk………………（1）由韦达定理得：21212228412,3434mkmxxxxkk，则2000222443,343434mkmkmxykxmmkkk，直线AG的斜率为：22232434413234348AGmmkKmkmkkk，由直线AG和直线MN垂直可得：22413234mkmkk，即2348kmk，代入（1）式，可得第4页共56页22234()438kkk，即2120k，则551010kk或。老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：ykxm，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。练习2、设1F、2F分别是椭圆22154xy的左右焦点．是否存在过点(5,0)A的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得22FCFD？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．分析：由22FCFD得，点C、D关于过2F的直线对称，由直线l过的定点A(5,0)不在22154xy的内部，可以设直线l的方程为：(5)ykx，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k的取值范围，由韦达定理得弦CD的中点M1k，解出k值，的坐标，由点M和点F1的坐标，得斜率为看是否在判别式的取值范围内。解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。设直线l的方程为：(5),(0)ykxk，C11(,)xy、D22(,)xy，CD的中点M00(,)xy。由22(5)4520ykxxy得：2222(45)50125200kxkxk，又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，则2222=(50)4(45)(12520)0kkk，即2105k。由韦达定理得：221212225012520,4545kkxxxxkk，则2212000222252520,(5)(5)2454545xxkkkxykxkkkk，M(222545kk，22045kk)。又点2F(1,0)，则直线2MF的斜率为22222205452515145MFkkkkkkk，根据2CDMF得：21MFkk，即225115kk，此方程无解，即k不存在，也就是不存在满足条件的直线。老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平第5页共56页分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。题型二：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。例题3、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线:(2)lxtt与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线:(2)lxtt上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t2，就可以了，否则就不存在。解：（I）由已知椭圆C的离心率32cea，2a,则得3,1cb。从而椭圆的方程为2214xy（II）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线1AM的斜率为1k,则直线1AM的方程为1(2)ykx，由122(2)44ykxxy消y整理得222121(14)161640kxkxk12x和是方程的两个根，21121164214kxk则211212814kxk，1121414kyk，即点M的坐标为2112211284(,)1414kkkk，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为2222222824(,)1414kkkk12(2),(2)ppyktykt12122kkkkt，直线MN的方程为：121121yyyyxxxx，令y=0，得211212xyxyxyy，将点M、N的坐标代入，化简后得：4xt又2t，402t椭圆的焦点为(3,0)43t，即433t第6页共56页故当433t时，MN过椭圆的焦点。方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程222121(14)161640kxkxk的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标：211212814kxk，再利用直线A1M的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标：1121414kyk；其实由222(2)44ykxxy消y整理得222222(14)161640kxkxk，得到22222164214kxk，即222228214kxk，2222414kyk很快。不过如果看到：将21121164214kxk中的12kk用换下来，1x前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标222