第2章 控制系统的状态空间模型

现代控制理论基础引言•内部描述与外部描述•状态空间描述法的特点•内容安排–模型状态变量和状态模型的概念；怎样建立状态模型；状态变量模型的相互转换–分析状态方程的求解；系统的可控和可观性–设计以极点配置为目标的观测器的设计；二次型最优控制第2章控制系统的状态空间模型§2-1状态及状态空间表达式§2-2由微分方程求状态空间表达式§2-3由传递函数求状态空间表达式§2-4状态方程的线性变换§2-1.状空间表达式在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论。它的数学模型就是状态空间表达式。一.状态及状态空间1.什么叫系统的状态呢？状态：系统过去、现在和将来的状况定义：能够完全描述系统时域行为的一个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。﹡完全描述：若给定t=t0时刻这组变量的值（初始状态）又已知t≥t0时系统的输入u(t)，则系统在t≥t0时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。﹡最小变量组：即这组变量应是线性独立的。2.状态空间：定义：由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量121()()()()nnxtxtxtxt又表示为：x(t)∈Rn[x(t)属于n维状态空间]4.状态轨线：定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间变化的规律。例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10,x20,x30。在u(t)作用下，系统的状态开始变化，运动规律如下：引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。3x1x2x10x20x30x0t1t2t3t1什么是状态空间表达式研究（t0t）区间的响应。它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描述。即只需t=t0时刻的初始条件及输入，即该时刻的状态变量与该时刻的输入即可列写方程。动态方程包括：–状态方程：描述状态变量与输入变量之间的关系，常为一阶微分方程组–输出方程：描述输出与输入状态变量的关系，常为代数方程组。2.建立方法：二.状态空间表达式（状态变量模型）例2-1.试建立机械位移系统的状态空间表达式.y(t)F(t)Kf弹簧-质量-阻尼器系统解：列基本方程：22dydymfkyutdtdt选择状态变量：取：()()1xtyt()()2xtyt故得：()2121kfxtxxummm()1ytx)()(21txtx将以上方程组写矩阵形式11220101xxxukfxxmmm()1210xytx记为CxyBuAxxA——系统矩阵B——输入矩阵C——输出矩阵状态方程输出方程系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法1.首先根据基本规则列基本方程；2.选择系统的状态变量；（按状态定义选）3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。2.一般形式：对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出）多输入多输出系统对象输出元件u1u2urx1x2xny1y2ym111111nnnrnnrmrmnmnrX(t)AX(t)Bu(t)Y(t)CX(t)Du(t)其中：Ann系统矩阵阶常数矩阵(Bnr控制矩阵输入矩阵),阶常数矩阵.C-输出矩阵m×n阶常数矩阵D-直连矩阵（前馈矩阵）m×r阶常数矩阵1()ruutu控制矢量;1myymy维输出矢量状态矢量(t)x(t)xx(t)n13.一般线性时变系统：()()()()()()()()()()XtAtXtBtutYtCtXtDtut区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程)4.非线性定常系统:()()()()()()XtfXtutYtgXtut()(),(),()(),(),xtfxtuttytgxtutt6.线性系统状态空间表达式的简便写法：对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:∑=(A,B,C,D)——定常∑=(A(t),B(t),C(t),D(t))——时变5.非线性时变系统：三.线性系统的结构图根据线性系统的状态空间表达式的一般形式：XAXBuYCXDu按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。1x2x21xx+加法器积分器)(tx)(tx)(tx)(txkkkxkxxx放大器A(t)D(t)C(t)B(t)∫dt++++XXY(t)u(t)结构图：绘制步骤：（1）绘制积分器（2）画出加法器和放大器（3）用线连接各元件，并用箭头示出信号传递的方向。例2-2设一阶系统状态方程为xaxbu则其状态图为bax+ux在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图例：单输入－单输出系统111121122122221122()()()()xtaaxbutxtaaxbxytccxa11c1b1b2a22a21a12c2∫dt∫dt+++++x1x21x2xy由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入—输出描述更近了一步。1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：即u(t)状态方程输出方程x(t)Y=CX+DuY(t)xAxBu2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与储能元件的初始状态相对应。4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变复杂，其形式是一致的。例:R-L-C串联网络（输入u，输出uc）dt)t(duC)t(i)t(udt)t(diL)t(Ri)t(uCC2x1x2x1xy212121xx10yu0L1xx0C1L1LRxx1x状态方程输出方程CxyBuAxx简记为例2-3.试建立下列R-L-C串联网络系统的状态空间表达式.由R-L-C网络的输入输出微分方程求状态变量的选择是否唯一？212121xx01yu10xxLRLC110xx2x21xx2xy1x状态方程输出方程)t(u)t(udt)t(duRCdt)t(udLCCC2C2该方法具有一般性,可用于输入输出高阶微分方程不唯一!同一系统不同状态变量之间的关系？前例R-L-C网络的两种状态变量为cuixccuux和ccuux~令xuiP0C110Ciuuux~cccc则即同一系统不同状态变量之间存在线性变换关系同一系统不同状态空间表达式之间的关系？设系统的两种状态空间表达式为DuCxyBuAxx系统u(t)y(t)uD~x~C~yuB~x~A~x~Pxx~uB~PPxA~PxuB~PxA~xP11uD~PxC~yD~D,PC~C,B~PB,PA~PA11和线性变换为则有§2-2.微分方程与状态空间表达式之间的变换对于单输入单输出系统，描述其运动规律的数学模型有三种常用形式：这三种形式是可以相互转换的，下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换，本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。T-FD-ES-E传递函数微分方程状态空间表达式一.输入项中不含有导数项：假设单输入单输出线性系统的微分方程为：D-ES-ExAxbuYCxDu：状态空间表达式为：1(0),(0),(0).nnnyyy阶系统要设个状态变量，并且已知以及输入u,就能惟一确定状态，故按状态变量的定义，可直接按已知初始条件选状态称变量--为相变量buyayayaynnnn1)1(1)(12211nnnnxyxyxyxy令122311111121nnnnnnnnnnxxxxxxxyayayaybuaxaxaxbu=-1211010000010nnnxxXuxaaab即100YX其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其余各元为零或为单位阵（A阵，对角线上方元素为1，最后一行元素为分母负系数的反向罗列，其他元素为0；B阵，最后一行元素为1，其他元素为0。）D=0无直联通道，1211010000010nnnxxXuxaaab即100YXD-E.61166S-Eyyyyu例：1236,11,6,6aaab解：直接按能控标准写出：32101001000001001,0061166100,0AbaaabCD1122331230100001061166100xxxxuxxxyxxS-E：二.输入项中包含有导数项：111011D-Ennnnnnnyayaybubububu,若按相变量法选状态则出现解的不唯一性121nnxyxyxy122311210111nnnnnnnnxxxxxaxaxaxbubububu+S-E!u可见最后一个方程中含有的导数项以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变:将是高阶脉冲函数，从而不能唯一确定系统的状态，因此在这种情况下，不能用相变量来求解该系统运动，而应寻求一种方法，使方程中不含输入u的导数项。11(),(),nututuu若则1021101322012（n-1）(n-1)(n-2)n01n-1选取n个变量为：xy-hu，xx-huy-hu-huxx-huy-hu-hu-huxy-hu-hu--hu111011nnnnnnnyayaybubububu10输出方程为：yxhu,121232n1nn-1xxhuxxhuxxhu状态方程为：1020112102323121211nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaan1n-121n(n1)11(n2)2n-1120n-11n22n-2xxxx(bb-h)u(bb-hh)u(bb-hhh-h-h)u(bhhhhh)u定：其中h值由下面各式确02211nnnnababaabaaaa