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八年级数学（上册）第一章勾股定理第一节探索勾股定理第二节能得到直角三角形吗第三节蚂蚁怎样走最近第一节探索勾股定理你知道毕达哥拉斯想到了什么吗？情境引入相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。（黑白相间的地砖）探究活动1问题1：你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系？问题2：下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？问题3：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2（1）观察图1-1正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积。正方形B的面积是个单位面积。正方形C的面积是个单位面积。99918数格子：ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2cS正方形1433182分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2cS正方形216218（单位面积）把C看成边长为6的正方形面积的一半探究活动2做一做：（1）请分别计算出图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？（A的面积＋B的面积＝C的面积）（A的面积＋B的面积＝C的面积）“割”“补”“拼”方法一：方法二：方法三：分割为四个直角三角形和一个小正方形补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形正方形C的面积该怎么求？问题2：如果用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.222cba勾股定理（gou-gutheorem）弦股勾探究活动3议一议：观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足a2+b2=c2简单应用例如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处.大树在折断之前高多少米？解：设大树在折断之前高为xm,由勾股定理得：(x-9)2=92+122解得：x=24答：大树在折断之前高为24米。巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：?225100x1517已知直角三角形两边，求第三边.生活中的应用：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度27454762258465480∴售货员没搞错荧屏对角线大约为74厘米∵拓展练习1.如图，一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？解：由勾股定理得：OB2=AB2-AO2=252-242解得：OB=7OD2=CD2-CO2=252-(24-4)2解得：OD2=225所以OD=15OD-OB=8m4m答：梯子低端B外移大于4m。生活中勾股定理的应用ABOCD拓展练习生活中勾股定理的应用2102.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解：设水深为X尺，则芦苇长为（X＋1）尺，由勾股定理得：（X＋1）2＝X2＋（）2解得X＝12∴X＋1＝13答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。210勾股定理的历史勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。希腊对勾股定理的研究最早研究的是希腊著名数学家毕达哥拉斯（前580至568-前501至500），故西方国家均称此定理为毕达哥拉斯定理，据说毕达哥拉斯十分喜爱这个定理，当他在公元前550前年左右发现这个定理时，宰杀了百头牛羊以谢神的默示．但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传．毕达哥拉斯中国对勾股定理的研究在我国，这个定理的叙述最早见于《周髀算经》（大约成书于公元前一世纪前的西汉时期），书中有一段商高（约前1120）答周公问中有“勾广三，股修四，经隅五”的话，意即直角三角形的两条直角边是3及4、则斜边是5．周髀算经请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形.有不同的拼法吗？aaaabbbbcccc22)(421baabc∴a²+b²=c²验证方法一图1你还能用图2进行验证吗？方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2图1图2验证方法二c22)(421cabab∴a²+b²=c²图3验证方法三美国第二十任总统伽菲尔德的证法：（1881.3.4--1881.9.19）bcabcaABCD如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得化简,得2111()()2.222abbaabc222.abc其他验证法：勾股定理的无字证明以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成4分。之后依照图中的颜色,将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。其他验证法：勾股定理的拼图证明在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明同学你知道古埃及人用什么方法得到直角?古埃及人曾用下面的方法得到直角:用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.想一想：这个方法得到的是直角三角形吗？是不是只有勾三股四弦五才能得到直角三角形呢？做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c。5、12、137、24、258、15、17这三组数都满足吗？222cbaFEDABC1.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？412243易知:△ABE，△DEF，△FCB均为Rt△由勾股定理知BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25∴BE2+EF2=BF2∴△BEF是Rt△如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.ADCB解：连接ACAD⊥DCAC=AD2+DC2=42+32=5AC2+BC2=AB2AC⊥BC答：这块地的面积是24m2.224)43125(212121mDCADACBCSSSADCABC如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.41FEACBD如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.DBCABA在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ABA’BAA’rOh怎样计算AB？在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，222'BAAAAB侧面展开图其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)小试牛刀练习1练习21．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。3220BA小试牛刀练习1练习22．有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒有多长？你能画出示意图吗?解:设伸入油桶中的长度为x米,则最长时:5.225.1222xx最短时:∴最长是2.5+0.5=3(米)5.1x答:这根铁棒的长应在2～3米之间∴最短是1.5+0.5=2(米)举一反三练习1练习23．如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？B食物A举一反三练习13．如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？练习1练习2右图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你设计一个方案。举一反三练习1练习2小结！再见