梁昆淼 数学物理方法第1和2章

使用教材：数学物理方法，梁昆淼编参考教材：（1）、数学物理方法，姚端正等编（2）、数学物理方法教程，潘忠程编第一章复变函数§1.2复变函数§1.3复变函数的导数§1.4解析函数§1.1复数与复数运算第一篇复变函数论§1.5多值函数式中x、y为实数，称为复数的实部与虚部（一）复数yixz1irz几何表示：§1.1复数与复数运算复数：)Re(zx)Im(zy复平面r),(yxAxyyixz)/(xyarctg22yx为复数的模为复数的辐角cosxsiny1、复数表示由于辐角的周期性，辐角有无穷多cosxsiny)/(xyarctgArgzkArgz2)2,1,0(kzarg为辐角的主值，为主辐角，记为zargr),(yxAxyArgzrxyArgzArgzrxyrxyArgziz31例：求的Argz与argz解：z位于第二象限xyarctgzarg)3(arctg32kzArgz2arg322k复数的三角表示：sincosiz复数的指数表示：)sin(cosizieike2iike)2(1ikei)2/32(应用：),1,0(k1ike)2/2(（二）无限远点共轭复数：**)sin(cosiz)sin(cosiieNSzARiemann球面复球面零点无限远点)(21cosiiee)(21siniieei)]/()[(arg2121xxyyarctgz)(221121iyxiyxzz（三）复数的运算1、复数的加减法iyyxx)()(2121xy2z2x2y1z1x1y21xx21zz21yy21zz221221)()(yyxx有三角关系：2121zzzz2121zzzz))((221121iyxiyxzz2、复数的乘法)()(12212121yxyxiyyxx212121iieezz)(2121ie)]sin()[cos(212121i2121zzzz2121argarg)arg(zzzziyxiyxzz2211213、复数的除法2121iiee))(())((22222211iyxiyxiyxiyx2222211222222121yxyxyxiyxyyxx或指数式：iyxiyxzz221121)(212121iezz)]sin()[cos(212121i4、复数的乘方与方根)sin(cosninn乘方ninez)(inne故：ninsincosni)sin(cos方根nineznine//1nkine/)2(/1故k取不同值，取不同值nz)3,2,1,0(knkinnez/)2(/1ninnezk//10ninnezk/)2(/11ninnezk/)4(/12)/2(/1ninneznknine//1)/2(/1ninneznknine//1383/)2(3/18kie0k例：求之值38383/3/18ie31i1k38ie3/1822k383/53/18ie31i222*yxzzz注意：))((2yixyixzzzxyiyx2221）、2）、zzzRe)(21*zzziIm)(21*3）、)(21)(21*2*1*21zzzz例：讨论式子在复平面上的意义2)/1Re(z解：2)/1Re(zyixzyixz1122yxyix22)/1Re(yxxz2222xyx222)41()41(yx为圆上各点例：计算解：令ibaWibaz)sin(cosiz2/1)]sin(cos[izibaW)]22sin()22[cos(2/1kikz)]2sin()2[cos(2/11izW)]22sin()22[cos(2/12izW22baz22sinbab22cosbaa2cos12sin例：计算ncos3cos2coscos解：nsin3sin2sinsin令nacos3cos2coscosnbsin3sin2sinsin)sin3sin2sin(sincos3cos2coscosninibaW)sin(cos)2sin2(cos)sin(cosniniiiniiieeee32iniiieeeeW32)1(32niiiieeeWeiniieeWWe)1(1)1(iinieeeW)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeee)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeeeW)2/sin(2)2/sin()2/cos()2/1sin()2/1cos(iininbianacos3cos2coscos)2/sin(2)2/sin()2/1sin(nnbsin3sin2sinsin§1.2复变函数（一）、复变函数的定义Ezyxivyxuzfw),(),()(iyxz对于复变集合E中的每一复数有一个或多个复数值w称为的z复变函数z称为w的宗量22)(vuzfwuvarctgzf)(arg（二）、区域概念0zz由确定的平面点集，称为定点z0的—邻域（1）、邻域（2）、内点定点z0的—邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点（3）、外点定点z0及其—邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点（4）、边界点定点z0的—邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的边界点。0z内点边界点外点0z内点边界点外点（5）、区域A）全由内点组成B）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。（6）、闭区域区域连同它的边界称为闭区域，如1z表示以原点为圆心半径为1的闭区域（7）、单连通与复连通区域单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域（三）、复变函数例)(21sinizizeeiz)(21cosizizeez)(21zzeeishz)(21zzeechzzsin可大于1zizezzziargln)ln(lnarg)cos(sin2)(212222xxeeyy例：求方程sinz=2iyxz解：)(21sinizizeeiz设][21)()(yixiyixieei)(21yixyixeeeei])sin(cos)sin[(cos21yyexixexixi]cos)(sin)[(21xeeixeeyyyy]cos)(sin)[(21sinxeeixeezyyyy22sin)(21xeeyy0cos)(21xeeyy0cosxkx224yyee4yyee0142yyee)32ln(y0142yyee或)32ln(yiyxzkx22)32ln(22ik（四）、极限与连续性设w=f(z)在z0点的某邻域有定义对于0，存在0,使0zz有0)(wzf称z--z0时w0为极限，计为0)(lim0wzfzz注意：z在全平面，z--z0须以任意方式若有)()(lim00zfzfzz称f(z)在z0点连续),(),(),(),(0000yxvyxvyxuyxu0zz§1.3导数w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数zzfzzfzzfzz)()(lim)(lim00在z点存在，并与z--0的方式无关，则dzdfzzfzzfzfz)()(lim)('0例：证明f(z)=zn在复平面上每点均可导证：zzzznnz)(lim0])(2)1([lim1210nnnzzzznnnz1nnz例：证明f(z)=z*在复平面上均不可导证：zzzzz**0)(limzzz*0limzzyx*00lim1lim00yyyxzzyx*00lim1lim00xxyx求导法则dzdwdzd)(dzdwwdzd)()(21wwdzddzdwdwwdFwFdzd)()(222121''下面讨论复变函数可导的必要条件yvyuiyixviuzfyx00lim)('),(),()(yxivyxuzfyiviuyx00limxvixuyixviuzfyx00lim)('xviuxy00lim比较两式有yvxuxvyu称为科西--黎曼条件（C.R.条件）C.R.条件不是可导的充分条件例：证明在z=0处满足C.R.条件，但在沯z=0处不可导证：0)0,0()0,(lim00xuxuxuzzxyzf)(xyu0v00zyu00zyv00zxv满足C.R.条件在z=0处但在z=0处，若一定，00iezizezfsincoslim0随而变，故在z=0处不可导下面讨论f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z点可导的充分条件证明：1）u,v在z处满足C.R.条件2）u,v在z处有连续的一阶偏微商因为u,v在z处有连续的一阶偏微商，所以u,v的微分存在dyyudxxududyyvdxxvdvidvdudf)()(dyyvdxxvidyyudxxudyyviyudxxvixu)()(由C.R.条件dyxuiyudxyuixu)()(此式z无论以什么趋于零都存在，idvdudfC.R.方程的极坐标表示：dyxuiyudxyuixu)()())((idydxyuixuyuixudzdf故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z点可导当考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，有vu1vu1例：试推导极坐标下的C.R.方程：方法一：vu1vu1当分别考虑z沿径向和沿恒向趋于零时，iez),(),()(ivuzf沿径向趋于零ieivuivudzdf),(),(),(),([lim0]),(),(),(),([lim0iievvieuu]),(),(),(),([lim0iievvieuudzdf