函数的定义域,值域,解析式(高考复习)

函数的定义域、值域及函数的解析式要点梳理1.函数的定义域：(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.(2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式组；③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)要点梳理(3)常见基本初等函数的定义域①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.③一次函数、二次函数的定义域为___.④y＝ax(a0且a≠1),y＝sinx,y＝cosx,定义域均为__.⑤y＝tanx的定义域为________________________.⑥函数f(x)＝x0的定义域为_________________．RR{|R,Z}2π且πxxxkk{x|x∈R且x≠0}2．函数的值域(1)在函数y＝f(x)中，与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域.要点梳理(2)基本初等函数的值域要点梳理基本初等函数值域①y＝kx＋b(k≠0)②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)③④y＝ax(a0且a≠1)⑤y＝logax(a0且a≠1)⑥y＝sinx,y＝cosx⑦y＝tanxR(0,)R且{|R0}yyy[1,1]R时240,[,);4acbaa240,(,]4时acbaa(0)kykx3．解析式的求法：待定系数法、拼凑法、换元法、方程组法、代入法、赋值法等等要点梳理题型一求函数的定义域例题精析例1、（1）函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域为_____.（2）函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为_______.（3）函数00.51(56)log(43)yxx的定义域为_____.求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于y＝x0，要求x≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.探究提高变式训练1(2)若函数f(x)＝x－4mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是_______．f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合条件．②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×30，即m(4m－3)0，∴0m34.综上所述，m的取值范围是3[0,]4.3[0,]4f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合条件．②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×30，即m(4m－3)0，∴0m34.综上所述，m的取值范围是3[0,]4.f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合条件．②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×30，即m(4m－3)0，∴0m34.综上所述，m的取值范围是3[0,]4.f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合条件．②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×30，即m(4m－3)0，∴0m34.综上所述，m的取值范围是3[0,]4.f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合条件．②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×30，即m(4m－3)0，∴0m34.综上所述，m的取值范围是3[0,]4.例2、（1）已知f(x)的定义域是[0,4]，求：①f(x2)的定义域；②f(x＋1)＋f(x－1)的定义域.（2）已知函数(2)xf的定义域是[1,1]，则2(log)fx的定义域是______.例题精析（1）若函数()fx的定义域是[0,2]，则函数(2)()1fxgxx的定义域是.（2）函数2()log(2)xfxxx的定义域为.练习例3、（2012.安康调研）求下列函数的值域：(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝x－3x＋1；(3)2221xxyxx；(4)y＝log3x＋logx3－1；(5)y＝x－1－2x.例题精析题型二求函数的值域求下列函数的值域：（1）1323xyx（2）23(-120)yxxx且练习变式训练3求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.解:(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.综上得－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.解:(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.综上得－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.解:(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.综上得－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.解:(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.综上得－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.解:(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.综上得－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1,x∈R,得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1,x∈R,得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.解:(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.综上得－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.解:(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.综上得－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.解:(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.综上得－13≤y1.∴函数的值域为1[,1)3.【例4】(1)已知1()fxx＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知2(1)fx＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋1()fx＝3x，求f(x)的解析式．题型三求函数的解析式例题精析函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．探究提高1()fx题型三求函数的解析式例4、（1）已知2(21)421fxxx，求()fx.（2）已知2211()11xxfxx，求()fx.（3）已知2211()fxxxx，求()fx.例题精析例题精析题型三求函数的解析式例4、（4）已知()2()32fxfxx，求()fx.（5）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式.变式训练4给出下列两个条件：(1)f(x＋1)＝x＋2x；∴f(x)=x2－1(x≥1).2(1)))((12fttt2(1).xt1,1,≥解:设则txt方法一21.t法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(11)x≥(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．方法二例5、函数()fx对一切,xy，都有()()(21)fxyfyxyx成立，且(1)0f.①求(0)f；②求()fx；