正切函数的图像及性质

正切函数的图像及性质西工大启迪中学何永平y02π1-1π2π23πy=sinxy=sin(π/2+x)作的图像.xxycos)2sin(x-π/20π/2π3π/22ππ/2+x0π/2π3π/22π5π/2y=sinx-1010-10y=sin(π/2+x)010-1012πx6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)余弦函数的图象(余弦曲线)余弦函数的单调性y=cosx(xR)增区间为其值从-1增至1[+2k,2k],kZ减区间为，其值从1减至-1[2k,2k+],kZyo--1234-2-31223252722325x余弦函数y=cosx,x∈R的性质定义域（-∞，+∞）值域[-1，1]奇偶性偶函数图象关于y轴对称周期性T=2kπ最小正周期为2π单调性x∈[2kπ,π+2kπ](k∈z)递减x∈[-π+2kπ,2kπ](k∈z)递增最值x=2kπ-π(k∈z)时，y小=-1x=2kπ(k∈z)时，y大=1对称对称轴是直线：x=kπ(k∈z)对称中心是点：(kπ+π/2,0)(k∈z)函数性质y=sinx(k∈z)y=cosx(k∈z)定义域值域最值及相应的x的集合周期性奇偶性单调性对称中心对称轴x∈Rx∈R[-1,1][-1,1]x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1周期为T=2π周期为T=2π奇偶在x∈[2kπ，2kπ+π]上都是增函数,在x∈[2kπ-π，2kπ]上都是减函数。(kπ,0)x=kπx=2kπ+时ymax=1x=2kπ-时ymin=-1π2π2在x∈[2kπ-,2kπ+]上都是增函数,在x∈[2kπ+，2kπ+]上都是减函数.π2π2π23π2(kπ+,0)π2x=kπ+π2一、y=sinx与y=cosx的性质回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出图像的?xysin尝试:用正切线作正切函数图像:回忆：单位圆中正、余弦的定义，那么正切函数如何定义？什么又叫做三角函数？xyO18328OA48483正切函数是否为周期函数？xytanxfxxxxxxxftancossincossintan∴是周期函数，是它的一个周期．xytan画出函数，的图像:xytankππR,xx2∵探究:xOy11223222341y1y的图像:,tanxykππR,xx2xytan的图像是利用平移正切线得到的，当获得上的图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。22，结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．正切函数的性质：①定义域：Zkkxx，2②值域：R当小于（）且无限接近于时，xk2Zkk2xtanxOy11223222341y1yx当大于()且无限接近于时，Zkxtank2k2③周期性:正切函数是周期函数，周期是．④奇偶性：∵任意，都有，∴正切函数是奇函数．xxtantan)(22Zkkkx，O奇函数．正切曲线关于原点对称．单调性:)(22Zkkkx，正切函数在每个开区间内都是增函数．正切函数的性质定义域值域R奇偶性奇周期性周期：最小正周期：单调性在R上没有单调性max&min没有最值},2{zkkxxk上单调增在)2,2(kk例1求函数的定义域。tan()4πyx解令，那么函数y=tanz的定义域为4πzx|,,2πzzRzkπkZ42ππxkπ即4πxkπ所以函数的定义域为tan()4πyx|,,4πxxRxkπkZ例2求函数的定义域值域3tanyx解∵3tan0xtan3x(),023ππkπxkπkZy,](),0,]23ππkπkπkZ定义域为(值域为[例3.不通过求值,比较下列两个正切函数值的大小.）（与513tan)411tan(）（）（解：43tan411tan)53tan()513tan(33312452又）是增函数，（，函数2123tanxxy)513tan()43tan(1113tantan45即（）（）例4.求下列函数的周期.)42tan(3xy分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期为π来解决.）（）（解：42tan3xxf)42tan(3x4)2(2tan3x)2(xf2T周期1.x观察正切曲线，写出满足下列条件的的值的范围.(1)sin0,(2)cos0,(3)tan0xxx练习(3)(,),()2xkkkZ(1)(2,22),()xkkkZ解(2)[2,2],()22xkkkZ.3tan.2的定义域求函数xy练习(,),()3636kkxkZ求下列函数的周期：.3)(,24,tan)1(Zkkxxy)(,)12(,2tan5)2(Zkkxxy(1)T(2)2T作业：课本P34B组1,2;P39A组1,2