共线向量与共面向量及向量的分解资料

复习§3向量的数量乘法定义（大小，方向）运算规律（结合律、分配律）向量的线性运算方法与代数多项式的线性运算方法相同定比分点公式及推广应用4.1共线向量与共面向量1）必要性：取相应的系数2）充分性：向量数乘的定义3）唯一性：同一法§4共线向量与共面向量,.babaab定理1.4.1向量与非零向量共线的充要条件是其中系数被唯一确定证充分性由向量的数乘定义可得。必要性,ba设(0),baa取ba当与同向时取正值,ba当与反向时取负值,.ba即有ba此时与同向.aa且.baba的唯一性.,ba设还存在使得，两式相减，得()0,a00,.a，即注：分类考虑，结合定理1.4.10abab定理1.4.2向量与共线的充要条件是:存在不全为零的实数,使得,cabcababc定理1.4.3向量与两个不共线的向量共面的充要条件是:其中系数,被,,唯一确定.:11.4.1,ab分析)与定理的条件进行比较,知道向量都是非零向量.0,00cacbcabccab2)必要性考虑向量的特殊性)显然可得结论)与(或)共线,由定理1.4.1可得)与,都不共线,因为共面,利用向量加法定义可得(作平行四边形)3)充分性分和两种情况讨论4)唯一性同一法结合定理1.4.2注：与定理1.4.2的证明进行比较,,0abcabc定理1.4.4三个向量,共面的充要条件是:存在不全为零的实数,使得1.,,5-3-20,,ABCOOAOBOCOAOBOCABC例设三点关于的位置向量,,满足,试证:三点共线.:,,0ABCABBCABBC分析三点共线2.,,,,,,ABCDACBDMNABCDMN例设四面体中对棱的中点分别为试证三个向量共面.DACBNM:,,0ABCDMNABCDMN分析三个向量共面4.2向量的分解121211221212112212,,,,,,,,,,,,,,,nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa定义1.4.1由向量与数量所组成的向量称为向量的线性组合.当向量是向量的线性组合,即时,我们称可以分解成向量的线性组12,,,naaaa合,或称向量可以用向量线性表示.,,ababcabcab定理1.4.3若给定两个不共线的向量与则与共面的任一向量总可以分解成向量与的线性组合,,,ababab当在一平面上选定一对不共线的向量,将平面上任何向量关于进行分解时,我们称为平面上向量的一对基本向量,简称为基.,,,,,+,,,,abcdabcdabcabcd定理1.4.5设三个向量不共面则对于空间任何向量总可以分解成的线性组合,即其中系数被,唯一确定,,,,abcabcabc当在空间选定三个不共面的向量,对空间的任何向量关于,进行分解时,我们称,为空间向量的一组基本向量,简称为基.由学生对照定理1.4.3的证明自行完成。3.,,,,,3,ABCOAaOBbOMMBOAONAMBNPAMBNOPab例如图设中与相交于点,试将向量,,分解成基本向量与的线性组合.abOABPMN.,,,,,,,,ODOAOBOCODABCMOAaOBbOCcOMabc例4如图已知是以为相邻三棱的平行六面体的对角线与平面()交于点设,试将向量分解成基本向量,,的线性组合并指出它的几何意义.OACBMDcab小结4.1共线向量与共面向量1.共线2.共面0,.baabaab与()共线(被唯一确定)2200abab与共线(),cabcababc与不共线的向量共面(,被,,唯一确定).222,00abcabc,共面()练习P231，2作业P243，4，5提示：5，类似例2的处理例5证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.DABCEFP1e1e2e31231231231123,,,,,,,,.,,,.ABCDABCDEFEFPPPPPPABeACeADeAPeee证设四面体一组对边的中点的连线为它的中点为其余两组对边中点分别为下只需证三点重合就可以了取不共面的三向量先求用，，线性表示的关系式),(211AFAEAP连接AF，因为AP1是△AEF的中线，所以有又因为AF是△ACD的中线，所以又有),(21)(2132eeADACAF,21211eABAE而),(41)(2121213213211eeeeeeAP从而得)3,2(),(41321ieeeAPi同理可得321APAPAP＝＝所以.,,321三点重合，命题得证从而知PPP