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必修4第二章《平面向量》复习课单位向量及零向量平行向量和共线向量向量向量有关概念向量的运算基本应用向量的定义相等向量求长度求角度知识网络向量的加法向量的减法实数和向量的积向量的数量积平行与垂直的充要条件一、向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。(1)零向量:长度为0的向量,记作0.(2)单位向量:长度为1个单位长度的向量.(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量.也叫共线向量(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量:长度相等且方向相反的向量.要点复习几何表示:有向线段向量的表示字母表示:aAB、等坐标表示:(x,y)(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1)ABxyaiO(x,y)jAaxy(1)(,)axiyjxy(,),(,)AxyOAxy(2)若则二、向量的表示三、向量的运算2、坐标运算:),(,),(设2211yxbyxaab则1212xxyy(,)(一)向量的加法三角形法则:平行四边形法则:1、作图ABBCACABCabab+OABC平行四边形法则三角形法则3.加法运算率a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)(1)交换律:(2)结合律:三、向量的运算三、向量的运算ABD(二)向量的减法2、坐标运算:),(,),(设2211yxbyxaab则1212xxyy(,)ABADDB1、作图平行四边形法则:ababλ()aR(三)数乘向量abab()aaa()aa3、数乘向量的运算律:a(1)长度:(2)方向:时,当0aa与异向,时当0aa与同向时,当00aa1a、的大小和方向:2、数乘向量的坐标运算:axyxy(,)(,)三、向量的运算4、平面向量基本定理12121122eeaaee如果,是同一个平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使三、向量的运算5、平面向量基本定理的推论设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量(1)如果λ1e1+λ2e2=x1e1+x2e2,则λ1=x1,λ2=x2.(2)如果λ1e1+λ2e2=0,则λ1=0,λ2=0.向量的夹角:两个非零向量和,作,,则)1800(abAOB叫做向量和的夹角.OAaOBbb夹角的范围:000,180180与反向abOABab0与同向abOABab记作ab90与垂直,abOABab注意:两向量必须共起点。OABbaa三、向量的运算1、平面向量数量积的定义:bacos||||ba2、数量积的几何意义:||||cos.aabab等于的长度与在方向上的投影的乘积OABθB1(四)向量的数量积abba)(1)()())((bababa2cbcacba))((34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算三、向量的运算①e·a=a·e=|a|cosθ②a⊥ba·b=0③a,b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|a2=a·a=|a|2(a·a=)④cosθ=⑤|a·b|≤|a|·|b|2a||||baba平面向量的数量积a·b的性质:三、向量的运算四、向量垂直的判定01baba)(1212112220,abxxyyaxybxy()其中(,),(,).五、向量平行的判定(共线向量的判定))()(0//1aabba122111222//0baxyxyaxybxy(),其中(,),(,)11223,AxyBxy()若(,)(,),则221212ABxxyy()()||a22xy2axy()设(,),则六、向量的长度21||aaa(),2||aa七、向量的夹角cos||||abab222221212121yxyxyyxx1、e1,e2不共线,a=e1-2e2,b=3e1-4e2,a与b是否共线。解:∵1/3≠-2/(-4)∴a与b不共线。巩固练习222(1)()2abaabb22(2)()()ababab3()()abcabc()4abacbc()(5)bcabac(6)00aba或b=0222(7)()abab2、判断真假:YYNNNYN3、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a解2:设a=(x,y),则x2+y2=100x=6,x=-6,4x+3y=0y=-8,y=8.所以a=(6,-8)或(-6,8)或解1(3,4),5bb10,,22(3,4)aabab即a=(6,-8)或a=(-6,8)4、设|a|=|b|=1|3a-2b|=3则|3a+b|=____解9a2+4b2-12a·b=9∴a·b=又(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12∴|3a+b|=2313解(a+3b)·(7a-5b)=0,且(a-4b)·(7a-2b)=07a2+16a·b-15b2=0,且7a2-30a·b+8b2=0解得2a·b=b2,a2=b2∴cosθ=,于是θ=60。21||||baba5、已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角..OABC故点是的垂心7,0,ABACABACAP、ABC中,点P满足AP则射线一定经过()A.内心B.外心C.垂心D.重心A8、已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则CBDE的值为________,DCDE的最大值为______。解DADECBDEcos||||DADE=||cos||DADE,因此1||2DACBDE.又cos||||DCDEDCDEcos||DE,而cos||DE就是向量DE在DC边上的射影.当E点与B点重合时,DCDE最大值为1.解:c=ma+nb(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7,m=1,-2m+n=-4,n=-2.所以c=a-2b9、已知a=(3,-2)b=(-2,1)c=(7,-4),用a、b表示c。
本文标题:高中数学必修4第二章复习课
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