第3章水文统计原理 123

1、河川径流的概念、影响因素2、河道水流的特点3、水文现象具有随机性，搜集水文资料的方法：水文站观测资料、洪水调查资料、文献考证资料第三章水文统计原理应根据桥涵使用期限内可能发生的一定洪水，结合安全与经济方面的要求来确定桥涵及其附属工程的基本尺寸。（跨径、桥面标高、基础埋置标高）一般就是要确定桥涵使用期限内，河流中可能发生的一定概率洪水的洪峰流量及其相应的水位和流速，分别称为桥涵的设计流量、设计水位、设计流速。分析这些原始水文资料的数学工具就是数理统计知识。确定设计洪水流量、设计通航水位、设计最高（低）潮水位、设计波浪高度等。数理统计的基本知识，对水量进行计算，对数据进行处理。水文现象的特性：周期性、地区性、随机性分析方法：成因分析法、地区归纳法、数理统计法第三章水文统计原理内容：3.1水文统计的基本概念3.2随机变量及其概率分布1-2节小结及作业3.3统计参数（含引题）3.4抽样误差3-4节小结3.5频率曲线（含引题）3.6相关分析5-6节小结及作业第三章水文统计原理第一节概率统计基本概念一、事件二、概率与频率三、累积频率与重现期四、概率定理五、失事概率一、事件事件：随机试验的结果：1.必然事件：在一定的条件组合下，必然会发生的事情。2.不可能事件：不可能发生3.随机事件：可能发生也可能不发生二、概率和频率概率是指随机事件在客观上出现的可能性，即该事件的发生率，亦称为几率。%100)(nmAp概率的基本性质：0()1pAp(A)=1p(A)=00p(A)1A属于必然事件；A属于不可能事件；A属于随机事件。根据事件出现的可能性是否能够预先估计出来，可分为事先概率和经验概率：1.事先概率：试验之前某随机事件出现的可能性可以预先估计出来，这种概率为事先概率。如：1)投硬币2)投掷骰子[例]：袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白球和黑球的概率各是多少？摸出白或黑球的概率是多少？摸出红球的概率是多少？32102020)(＝白P31102001)(＝黑P110201020)(＋＝白或黑P010200)(＝红P2.经验概率—频率随机事件出现的可能性不能在试验之前预估，必须通过大量的重复试验之后才能得到。1)河流决堤的机率2)河流出现大型污染事件的机率3)出现某一流量洪水的机率§3.1概率统计基本概念3.频率与概率的关系频率是经验值，概率是理论值可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性样本容量越大，推求的总体概率值越准确对于水文现象，只能利用有限水文资料推求频率作为概率的近似值)()(limAPAWn§3.1概率统计基本概念三、累积频率与重现期1、累积频率P：等量和超量值的累积频数m与总观测次数n之比。()100%impxxnm是等于或大于某量值出现的次数(即累积出现的次数)。n是总观测次数。水文分析中通常提到的洪水频率均指累积频率§3.1概率统计基本概念例某桥位处测得40年最高水位资料，如表，求水位H≥25m的累积频率。解：当水位H＝25m时，W=25%P=25+5=30%表明：若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为P=30％。§3.1概率统计基本概念2、重现期T：桥渡中：等于和大于某频率的洪水平均多少年可能遇到一次，简称几年一遇。枯水频率洪水频率当频率时：50%p当频率时：50%p重现期1Tp重现期11Tp§3.1概率统计基本概念注：若频率分别是P=1%，P=99%，则两者重现期均100年重现期含义：指很长时期内，某一事件平均多少年可能遇到一次。111000.01Tp年11100110.99Tp年表示百年一遇的大洪水。表示百年一遇的枯水。§3.1概率统计基本概念四、概率定理1.加法定理互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不能发生，称为互斥事件概率相加定理：互斥事件)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPBAP当A、B为相容事件时则：§3.1概率统计基本概念[例]某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表所示，试确定水位H≥2.0m和H≥2.7m的概率？%70)0.4()5.3()7.2()7.2(＝%5.92%70%5.22)7.2()0.2()0.2(HPWHP＝序号水位H（m）频数频率W（%累积频率P（%123454.03.52.72.01.921016935254022.57.55307092.5100∑—40100—§3.1概率统计基本概念2.乘法公式------条件概率独立事件：当一个事件的出现不影响其他事件的出现，同时其他事件的出现也不影响本事件的出现，则它们被称为独立事件、或称互相独立。概率相乘定理：对于独立事件同时发生的概率：BpApABp对于不独立事件同时发生的概率（条件概率）：BApBpABpApABp§3.1概率统计基本概念某镇位于甲河与乙河汇合处。任一河发生大于某一定值流量时，该镇均可能被淹。若甲河泛滥的概率为0.1，乙河泛滥的慨率为0.2，又有甲河泛滥时，乙河泛滥的概率为0.3。求乙河泛滥时，甲河泛滥的概率?15.02.01.03.0)()()/()/(BPAPABPBAPBApBpABpApABp[例]不独立事件§3.1概率统计基本概念[例]加法和条件概率综合某镇位于甲河与乙河汇合处。任一河发生大于某一定值流量时，该镇均可能被淹。若甲河泛滥的概率为0.1，乙河泛滥的概率为0.2，又有甲河泛滥时，乙河泛滥的概率为0.3。求该地的被淹概率?()()()()PABPAPBPAB()()(/)()PAPBPBAPA0.10.20.30.10.27§3.1概率统计基本概念3.二项概率公式互补事件（对立事件）将独立事件进行众多次重复试验，每次试验中只有“发生”与“不发生”两种结果。若令事件A发生的概率为p，则其不发生的概率为1-p。在n次试验中，事件A发生m次而在其余n-m次试验中不发生的概率为pm(1-p)n-m。考虑排列组合，可得到再n次试验中事件A发生m次的概率为：mnmmnppCmB1§3.1概率统计基本概念[例]200年一遇的特大洪水，在100年中恰好出现2次的概率是多少？2100221001121200200()BC549502510062..757.%mnmmnppCmB111100211200200,,,nmpp§3.1概率统计基本概念[例]某河段每年的最大洪峰流量超过Q0的概率为10%，问在连续十年中均不超过Q0和仅超过Q0一次的概率各是多少解：此题中n=10，p=0.1，1-p=0.9均不超过的概率为(m=0)：仅超过一次的概率为(m=1)%9.34)9.0()1.0()0(0100010cB%7.38)9.0()1.0()1(1101110cB§3.1概率统计基本概念五、失事概率水工结构物在使用年限内，遇到超过设计流量而造成水害的可能性，称为失事概率。失事概率估算如下：其互补事件为在n年内出现超过Qp的概率U：nPU)1(1现用重现期表示，设结构使用年限为N．则NTU)11(1§3.1概率统计基本概念N=100，P＝0.01，则每年不出现超过Qp的概率为0.99。在100年中连续出现不超过Qp概率为：[例]某桥的洪水设计频率为p＝0.01(即百年一遇)，问在该桥使用期为100年中，遇到大于或等于设计流量洪水的可能性是多少?B(0)＝(0.99)100=0.366＝36.6%则出现大于设计频率流量的可能性为：P=1-B(0)=1-0.366=63.4%§3.1概率统计基本概念这就是说，对于设计基准期为100年的水工结构物，其设计洪水频率取P=1%时其失事概率是比较大的63.4%。说明其设计标准并不高。§3.1概率统计基本概念第三章水文统计原理第二节随机变量及其概率分布一、随机变量二、总体和样本三、随机变量概率分布一、随机变量定义：出现某一数值Xi常具有相应的概率，表明这种变量x带有随机性，称为随机变量，或随机变数。随机变量离散型连续型相邻两个随机变量间，无中间值有限区间内可以取得任意值例如：水文站观测到的各个水位和流量值§3.2随机变量及其概率分布二、总体和样本随机变量所有取值的全体。从总体中抽取的一部分。样本包括的项数，样本大小。样本是总体的一部分，在一定的程度上能够反映总体的特征，推断结果到底可靠与否，有样本对总体的代表性决定。水文现象都是无限的。实际上无法取得全体的样本，只能把已经通过水文观测站、历史调查的资料组成有限的随机变量系列，作为无限总体中的一个随机样本，来推断水文现象的规律。总体：样本：样本容量：§3.2随机变量及其概率分布三、随机变量的频率分布随机变量频率iipxXP)(一一对应关系，称为随机变量的频率分布。§3.2随机变量及其概率分布02004006008001000120014002040流量(m/s)3200400600800100012001400201030频率（%）0.100.200.303(m/s)流量pxx流量与频率关系的直方图（参见课本表3-2）频率密度直方图表示各组随机变量频率的平均分布。(ΔP/Δx)---x各矩形面积表示各组距间的频率，且各长方形面积之和为1。§3.2随机变量及其概率分布1.频率密度曲线流量30.300.200.10（%）频率（%）频率密度301020140012001000800600400200(m/s)xp频率直方图与密度曲线若流量资料的实测次数无穷大，组距趋于无穷小，直方图变成曲线，称为：：频率密度曲线。0limxpfxxf(x)：密度曲线的函数，称为密度函数x一f（x）§3.2随机变量及其概率分布面积=1规律特点：1、数值越大或者越小的随机变量，其频率越小。2、系列平均数附近的频率比较大。3、存在众数xc流量与累积频率：梯形折线图流量的实测次数趋于无穷大，组距趋于无穷小时，形成的S形曲线。X----F(x)所以分布函数可由密度函数积分而得。流量与累积频率的关系p（%）F(x)=））f(x)分布曲线密度曲线xf(x)dx∞3(m/s)累积频率（%）流量100806040201400120010008006004002000xppxxxpp()()xFxfxdx§3.2随机变量及其概率分布2.累积频率曲线（频率分布曲线）阴影部分的面积就是随机变量xp所对应的累积频率P(x≥xp)。§3.2随机变量及其概率分布3.分布曲线与密度曲线的关系（P,xp）密度曲线和分布曲线020040060080010001200140020406080100流量累积频率（%）(m/s)3pp（%）F(x)=分布曲线xxf(x)dx）∞p密度曲线）f(x)pxxpxp（p,xp)（P,xp)()()xFxfxdx如果已知F(x)的表达式，就可以利用数学的方法求得分布曲线。)(xf)(xf在水文计算中，就是通过研究已有的水文资料系列的频率分布，寻求相应的密度曲线和分布曲线来描述水文现象的统计规律，在根据分布曲线推测今后的变化，解决实际工程问题的。注：水文上通常称概率分布曲线（密度函数积分得到）---------频率曲线分布曲线累积频率曲线概率分布函数的导数对应曲线------------频率密度曲线§3.2随机变量及其概率分布1.四川省有一条河流，欲在该河流上面修一座预应力混凝土连续梁桥，根据桥涵水文设计规范，该桥按照300年一遇的洪水设计，则在200年当中至少遇到一次大于等于该设计流量洪水的几率是多少？mnmmnppCmB1作业该桥在200年中一次也不发生大于等于300年一遇洪水的几率为：020002001101300