模块7 二重积分的计算(2)

三、小结思考题模块7二重积分的计算法（2）一、利用极坐标系计算二重积分二、广义二重积分AoDiirriirrriiiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,iiirr.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf一、利用极坐标计算二重积分(polarcoordinates).)sin,cos()()(21rdrrrfdADo)(1r)(2rDrdrdrrf)sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图,).()(21r区域特征如图,).()(21r.)sin,cos()()(21rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图,).(0rDrdrdrrf)sin,cos(Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图).(0rDoA)(r,20例1写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解在极坐标系下sincosryrx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd例2计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下D：ar0，20.dxdyeDyx22arrdred0202).1(2ae例3求广义积分02dxex.解}|),{(2221RyxyxD}2|),{(2222RyxyxD}0,0{yx}0,0|),{(RyRxyxS显然有21DSD,022yxe122DyxdxdyeSyxdxdye22.222Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又SyxdxdyeI22RyRxdyedxe0022;)(202Rxdxe1I122DyxdxdyeRrrdred0022);1(42Re同理2I222Dyxdxdye);1(422Re当R时,,41I,42I故当R时,,4I即20)(2dxex4,所求广义积分02dxex2.,21III);1(4)()1(4222220RRxRedxee例4计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解3261sin4rsin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15yyx422yyx22203yx03xy例5计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解由对称性，可只考虑第一象限部分，注意：被积函数也要有对称性.Ddxdyyxyx2222)sin(412222)sin(Ddxdyyxyx210sin42rdrrrd.414DD1D例6求曲线)(2)(222222yxayx和222ayx所围成的图形的面积.解根据对称性有14DD在极坐标系下)(2)(222222yxayx,2cos2ar,222arayx1D由arar2cos2,得交点)6,(aA,所求面积Ddxdy14Ddxdy2cos2064aardrd).33(2a二、广义二重积分基本解法：先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.解先考虑圆域}|),{(222RyxyxDDyxdRI)1()(22例1求广义二重积分.1,)1(22DyxdID是整个xOy平面2002)1(Rdrrrd1)1(1112R当1时1)(limRIR则1I当1时)(limRIR则原积分发散例2设),()(),(,||0||21)(yxyxfaxaxaxDdyxfzF,),()(其中},|),{(zyxyxD求).(zF解区域D可以表示为},|),{(xxzyyxD,故xzdyyxfdxzF),()(xzdyyxdx)()(xzdyydxx)()(所以dxxzxzF)()()(aadxxza)(21令xzt,则有azazdttazF)(21)(于是有:(1)az2时,0)(zF(2)02za时,242)(aazzF(3)az20时,242)(azazF(4)az2时,0)(zF1.二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）三、小结2.广义二重积分基本解法：先在有界区域内积分，然后令有界区域趋于原无界区域时取极限求解.交换积分次序:).0(),(cos022adrrfdIa思考题,cos022:arDoxy思考题解答cosarDaararccosararccos.),(arccosarccos0araradrfdrI一、填空题:1、将Ddxdyyxf),(,D为xyx222,表示为极坐标形式的二次积分,为_____________________.2、将Ddxdyyxf),(,D为xy10,10x,表示为极坐标形式的二次积分为______________.3、将xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二次积分为______________________.4、将2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分为______________________.练习题5、将xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积分为_______________,其值为_______________.二、计算下列二重积分:1、Ddyx)1ln(22,其中D是由圆周122yx及坐标轴所围成的在第一象限内的区域.2、Ddyx)(22其中D是由直线xy,)0(3,,aayayaxy所围成的区域.3、DdyxR222,其中D是由圆周Rxyx22所围成的区域.4、Ddyx222,其中D:322yx.三、试将对极坐标的二次积分cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交换积分次序.四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线2r上一段弧(20)与直线2所围成,它的面密度为22),(yxyx,求这薄片的质量.五、计算以xOy面上的圆周axyx22围成的闭区域为底，而以曲面22yxz为顶的曲顶柱体的体积.六、计算广义二重积分Dpyxd)(22,其中}1|),{(22yxyxD一、1、rdrrrfdcos2022)sin,cos(；2、1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3、sec2034)(rdrrfd；4、sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5、2cossin0401rdrrd,12.二、1、)12ln2(4；2、414a；练习题答案3、)34(33R；4、25.三、4420)sin,cos(drrfrdrIaararaadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(.四、405.五、4323a.六、1p时收敛于1p,1p时发散