4 连续时间信号与系统的复频域分析

第四章连续时间信号与系统的复频域分析u重点：1．拉氏变换收敛域的确定即相应物理意义；2．拉氏变换的性质；3．用部分分式展开法求拉氏逆变换；4．连续系统的方框图与信号流图表示；4－1双边拉普拉斯变换stetf)(dehedehthtftysstts)()()()()()(若：dehsHs)()(stesHty)()(特征函数特征值拉氏变换：dtetfsFst)()(dsesFjtfst)(21)(拉氏反变换：)()(sFtf将表示拉氏变换对，一般用符号L表示。)]([)()]([)(1sFLtftfLsF收敛域的确定：要成立，则：dtetft|)(|0)(limttetf从拉普拉斯变换与傅立叶变换的绝对可积达条件可知，拉普拉斯变换与傅立叶变换的区别就在于一个收敛因子的引入。从数学观点上看，这是将函数f(t)乘以因子使之满足绝对可积条件；从物理意义上看，是将频率ω变换为复频率s，ω只能描述振荡的重复频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的速率或衰减速率。几个基本信号的拉氏变换：asassFtuetfat}Re{1)()()()1(asassFtuetfat}Re{1)()()()2(0}Re{1)()()()3(sssFtutf平面为整个sssFttf}Re{1)()()()4(4－2拉普拉斯变换的收敛域定义：一般把使积分收敛的s值得范围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。dtetfsFst)()(Re(s)Im(s)a拉普拉斯变换收敛域的性质：（1）F(s)的收敛域在S平面由平行于jω轴的带状区域所组成的；（2）拉氏变换的收敛域不包含任何极点；（3）如果f(t)是有限持续期，并且是绝对可积，那么收敛域就是整个s平面；（4）如果f(t)是右边信号，其收敛域在最右边极点的右半平面；（5）如果f(t)是左边信号，其收敛域在最左边极点的左半平面；（6）若f(t)是双边信号，即无始无终信号，则其收敛域是由s平面的一条带状区域组成；4－3拉普拉斯变换的性质虽然，由拉氏变换的定义式可以求得一些常用信号的拉氏变换，但是在实际中常常不去作这一积分运算，而是利用拉氏变换的一些基本性质得出它们的变换式。这种方法在傅立叶变换的分析中，曾被广泛采用。对于拉氏变换，在掌握了一些性质之后，运用有关定理可以很方便的求得其变换式。很多结果的导出都和傅立叶变换中相应性质的导出相类似，这里就不作详细推导。1．线性：若其收敛域为：R1；若其收敛域为：R2；则：其收敛域为：)()(11sFtf)()(22sFtf)()()()(22112211sFasFatfatfa21RRR2．时移特性：若其收敛域为：R；)()(sFtf则：其收敛域为：R1=R)()(00sFettfst3.s域平移特性若其收敛域为：R；)()(sFtf)()(00ssFetfst则：其收敛域为：R1=R4．尺度特性：若其收敛域为：R；)()(sFtf)(||1)(asFaatf则：其收敛域为：R1＝aR5．卷积特性：若其收敛域为：R1；若其收敛域为：R2；则：其收敛域为：)()(11sFtf)()(22sFtf21RRR)()()()(2121sFsFtftf注意：在运用复指数是线性时不变系统的特征函数的概念求解时，必须考虑卷积特性中两收敛域的重叠问题。6．时域微分特性：若其收敛域为：R；)()(sFtf)()(ssFdttdf则：其收敛域为：RR17．时域积分特性：若其收敛域为：R；)()(sFtf)(1)(sFsdft}0}{Re{1sRR其收敛域为：8．S域微分特性dssdFttf)()(若其收敛域为：R；)()(sFtf则：RR1其收敛域为：9．S域卷积特性：dsFFjsFsFjtftfjj)()(21)()(21)()(212121若其收敛域为：R1；若其收敛域为：R2；则：其收敛域为：)()(11sFtf)()(22sFtf21RRR4－4单边拉氏变换实际的信号，通常都有其起始时刻，这里设其为时间坐标的原点。则一个信号f(t)的单边拉氏变换F1(s)为：dtetfsFst)()(010)(2100)(1tdsesFjttfst拉氏反变换：单边拉氏变换的大多数性质与双边拉氏变换相同，它们的重要差别表现在时域微分和时域积分特性上。1．时域微分特性：)0()()(fssFdttdf若其收敛域为：R；)()(sFtf则：RR1其收敛域为：)0()0()()('222fsfsFsdttdf)0()(])([)(110rrnnrnnnfssFsdttdfL2．时域积分特性：若其收敛域为：R；)()(sFtfsfsFsdft)0()(1)()1(}0}{Re{1sRR其收敛域为：3．初值定理若：,}Re{),()()(1ssFtutf且f(t)在t=0处无冲击，则)(lim)0()()(lim10ssFftutfst4．终值定理：,}Re{),()()(1assFtutf若时收敛，则在且0}Re{)(1sssF)(lim)()(lim10ssFftfst初值定理告诉我们，只要知道变换式F(s)，就能直接求得f(0+)值；而借助于终值定理，可从F(s)来求时的f(t)值。t4－5拉氏逆变换利用拉氏变换方法分析电路问题时，需求函数的逆变换。在已知拉氏变换F(s)及其收敛域时，用定义式，求其逆变换，式中的积分路径，应选在收敛域之内，积分路径为收敛域内平行与jω轴的直线。由于在计算无穷型积分时比较困难，可以利用复变函数理论中求围线积分的留数定理。dsesFjtfst)(21)(1在实际中，我们所遇到的拉氏变换都是有理函数，可以将其展开为部分分式，然后根据基本信号的拉普拉斯变换式和拉普拉斯的特性求得其逆变换。部分分式展开法设F(s)是有理函数，如果分子多项式的次数高于分母，就不能直接应用部分分式展开法。先做长除法，得到商和余数，先将商求其反变换，其为冲击函数及冲击函数的各阶导数。余数为部分分式展开的对象。下面讨论F(s)为真分数的情况：01110111)()()(asasasabsbsbsbsNsDsFnnnnmmmm部分分式展开的第一步是把分母N(s)进行因式分解，然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。下面分别讨论极点为实数、共轭复数和多重根的三种情形：（1）极点为实数且无重根)()()()()())(()()()()(1221121kknknnnpsApsApsApsApspspssDsNsDsFipsiisFpsA)]()[(ipsisNsDA)()('或者（2）极点为共轭复数且无重根如果多项式N(s)＝0具有复根，则F(s)具有复数极点，则必定以共轭形式成对出现。相应的部分分式展开的系数为共轭复数。（3）二阶和高阶极点当N(s)＝0有r重根，其余为单根的分解式为：)()()()()()(11111112111sNsDpsApsApsAsFrrr1|)]()[()!1(11111pskkkksFpsdsdkA4－6系统函数及连续时间系统的复频域分析线性时不变系统的数学模型通常用常系数微分方程来描述：kkkmkkkknkdttfdbdttyda)()(00将其两边取拉氏变换，得：kkmkkknkkkmkkknksbsFsasYsFsbsYsa)()()()()()()()(0000故系统的系统函数H(s)为：kknkkkmksasbsFsYsH)()()()()(00H(s)只与系统的特性有关，是表征系统特性的重要参数。线性时不变系统的很多性质都与系统函数H(s)在s平面的特性相关，尤其与极点位置和收敛域有关。1.因果性对于一个因果的LTI系统，其单位冲激响应在t0时为0，因此为一右边信号，则有：一个因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面。但是，相反的结论未必是成立的。一个是位于最右边极点的右边的ROC并不保证系统是因果的，它只是保证单位冲激响应是右边的。然而，如果H(s)是有理的，可以只需看一下它的ROC是否是右半平面的，就能确定改系统是否是因果的。2．稳定性两种判定准则：I所谓系统的稳定，就是在有界输入下，其输出也为有界的。一个LTI系统的稳定性等效于它的单位冲激响应是绝对可积的。系统的冲激响应的性质由极点来决定。II对于因果系统，根据极点的位置，分为以下三种情况：（1）极点位于左半平面，则系统是稳定的；（2）单极点位于jω轴，则系统处于临界稳定；（3）极点位于右半平面，则系统是不稳定的；4.6.2由系统函数的零极点确定系统的频率响应特性一个系统，如果其收敛域包含jω轴，则由系统函数)()()(11iniimissMsH可以直接得到：)()()(11iniimijjMjH因此，H(jω)取决于系统的零极点分布。)()(21)(21|)(|)(2121jjjmejHeAAeBBBMjHnm其中：这里令：jω－αi＝Aiejθijω－βi＝Biejφi则：eAABBBMjHm2121|)(|)()()(2121nm4．6．1.3全通系统和最小相位系统全通系统函数：对于因果稳定的系统而言，如果系统函数的极点位于左半S平面，零点位于右半S平面，而且所有的零点与极点对于jω轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通系统函数。此系统则称为全通系统或全通网络。所谓全通是指它的幅频特性为常数。最小相移网络：是指具有相同幅频特性的系统中，相移特性在任何频率上均为最小的系统。4．6．2线性微分方程的复频域解对于在第二章的求解微分方程时，或者将解的结构分为齐次解和特解，或者将解分为零输入响应和零状态响应，对于零状态通过卷积的方式进行求取；现在学习了双边拉氏变换和单边拉氏变换，因此就可以通过拉氏变换的卷积特性，先将其变到s域，求出其解，然后通过拉氏反变换，求出其实域解答。具体地说，对于初始状态为0的系统，可以通过双边拉氏变换求出解答；而对于初始状态不为0的系统，则需使用单边拉氏变换这个工具。（见教材例题）。至此，对于解微分方程，可以直接在第二章通过实域的方式进行求解；第三章的傅氏变换域中可以求出其零状态响应；现在通过单边或双边拉氏变换求出其完全解。（希望至少掌握一种方法，建议掌握拉氏变换）。4.7连续系统的方框图与信号流图表示用方框图表示系统在自动控制理论中大家对此已有所了解，这里再对其进行讨论。一般地，系统的连接方式有三种：级联（串连）；并联；反馈；下面分别予以讨论：H1(s)H2(s)F(s)W(s)Y(s)级联：Y(s)=H1(s)H2(s)F(s)并联：Y(s)=（H1(s)＋H2(s)）F(s)H1(s)H2(s)F(s)Y(s)反馈：)()()(1)()(sFsHsGsGsYG(s)H(s)F(s)Y(s)＋－E(s)2系统的信号流图表示对于比较大的系统，如果用方框图的方式就比较麻烦，而由上面的讨论可知，一个系统的特性完全由其子系统的系统函数以及各个子系统之间的连接方式所决定。因此可以将方框图简化，用系统的信号流图来表示。F(s)a0Y(s)a0b0b11/s1x1x21信号流图中的一些术语：节点：表示系统中变量或信号的点：F(s)、Y(s)、x2源点：只有输出支路的节点，其对应的是输入信号；阱点：只有输入支路的节点，其对应的是输出