通信原理课件(樊昌信)随机信号分析

第二章随机信号分析引言l随机信号和随机噪声的基本概念随机信号：实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也是随机的，这种具有随机性的信号，称为随机信号。随机噪声：携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的干扰，而噪声也是随机的，称为随机噪声。随机信号和随机噪声不可能用一个或几个时间函数准确地描述，但它们都遵循一定的统计规律，我们可以用概率统计的方法进行研究。第一节随机过程一、随机变量的概念：1、随机变量：是与实验结果有关的随机地取值的量。某随机实验可能有许多个结果，我们可以引入一变量X，它将随机地取某些数值，用这些数值来表示各个可能的结果，这一变量X就称之为随机变量。当随机变量X的取值个数是有限的或可数无穷个时，则称它为离散随机变量；否则，就称它为连续随机变量，即可能的取值充满某一有限或无限区间。如果一个随机实验需要用多个随机变量（X1，X2，…，Xn）表示，则多个随机变量（X1，X2，…，Xn）的总体称之为n维随机变量。2．随机变量的概率分布函数和概率密度函数用P(X≤x)表示X的取值不大于的概率，则定义函数为随机变量X的概率分布函数。这里，X可以是离散随机变量，也可以是连续随机变量。)112()()(xXPxFx若X是连续随机变量，对于一非负函数f（x）有下式成立则f（x）称之为X的概率密度函数（简称概率密度）。)212()()(duufxFx也可表示为对二维随机变量（X，Y），我们把两个事件和同时出现的概率定义为二维随机变量的二维分布函数同样，称之为二维概率密度。)(xX)(yY)312()()(xFdxdxf)412(),(),(yYxXPyxF)512(),(),(2yxFyxyxf3．随机变量的数字特征（1）数学期望：反映了随机变量取值的集中位置（均值）设P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机变量X的取值xi的概率，则其数学期望为对于连续随机变量X，设f(x)为其概率密度函数，则则其数学期望为)612()(}{1KiiixPxXE)712()(}{dxxxfXE（2）方差：反映了随机变量的集中程度；方差定义为：式中m=E{X}。而方差的平方根又称为均方差或标准偏差。（3）两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的线性相关程度。对两个随机变量X，Y定义为X，Y的相关矩或协方差。)812()()(}){(}{222dxxfmxmXEXD)912(),())(()})({(dxdyyxfmYmxmYmXEYXYX[例2-1]试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差：362)()()(042)()(021)(23222aaxdxaxdxxfmxxDaxdxaxdxxxfxExaxaaxfaaaaaaaa解：其它而X，Y的归一化相关矩，称之为X，Y的相关系数，定义为二、随机过程及其统计特性1．随机过程的概念定义：设随机实验E的可能结果为ξ(t)，实验的样本空间S为{x1(t),x2(t),…,xi(t)}，i为正整数，xi(t)为第i个样本函数（又称之为实现），每次实验之后，ξ(t)取空间S中的某一样本函数，于是称此ξ(t)为随机函数。当t代表时间量时，则称此ξ(t)为随机过程。)1012(}){(}){()})({(1122YXYXYXumYEmXEmYmXExt每一任意瞬间（时刻）都有一个与之对应的随机变量。以时间t为参变量的一簇无穷多个随机变量的集合，就称为随机过程。这个集合称为样本空间，每一时刻的随机变量称为一个样本。)(,),(,),(),(21nitxtxtxtx)(t)(itx)(t)(),(,),(),(21txtxtxtxni)(txi二、随机过程的分布函数和概率密度：)(t)(11tt一维概率密度和一维分布函数为：)1112())(();(11111xtPtxFdxtxfx);(111)1212();();(1111111xtxFtxf一维分布函数和概率密度仅表示了在任意瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分。通常需要在足够多的时间上随机过程的多维分布。多维分布函数为：),,;,,,(2121nnntttxxxF))(,,)(,)((2211nnxtxtxtP（2-1-13）多维概率密度为：nnnnnnnnxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),,;,,,(),,;,,,(维数越多，n越大，对随机过程描述越细致。三、随机过程的数字特征：随机过程的数字特征由随机变量的数字特征推广而得：1、数学期望（统计平均）：)(t)(tt);(1txf)1512()();()]([1tadxtxxftE)()]([tatE（2-1-14）2、方差：)();()]([})]()({[)]([2122tdxtxftaxtatEtD)()]([)}()()(2)({})]()({[)]([22222tatEtatattEtatEtD由随机过程的方差等于随机过程的平方的数学期望减去数学期望的平方。3、协方差函数和相关函数：自协方差函数定义为自相关函数定义为从式（2-1-18）和式（2-1-19）可以得到B（t1，t2）和R（t1，t2）之间的关系：由（2-1-18）：)1812(),;,()]()][([)]}()()][()({[),(21212122211221121dxdxttxxftaxtaxtattatEttB)1912(),;,()]()([),(2121212212121dxdxttxxfxxttEttR)]}()()][()({[),(221121tattatEttB)]()()()()()()()([21211221tatattattattE)()()]([)()]([)()]()([21211221tatatEtatEtattE)2012()]([)]([),(),(212121tEtEttRttB我们这里的协方差函数和相关函数是衡量同一过程的相关程度的，因此又称为自协方差函数和自相关函数。若对于两个或多个随机过程，可以有互协方差函数和互相关函数描述。设ξ(t)和η(t)表示两个随机过程，则互协方差函数和互相关函数分别定义为)2112(),;,()]()][([)]}()()][()({[),(2121221121dxdyttyxftaytaxtattatEttB)2212(),;,()]()([),(212121ttyxxyfttEttR可以看出，随机过程的统计特性原则上都与时间t有关，是时间的函数。而对于相关函数R（t1，t2），若取t2=t1+τ，即τ是t2和t1之间的时间间隔，则R（t1，t2）可表示为R（t1，t1+τ），而t1是任意的，R（t1，t1+τ）可以表示为R（t，t+τ），这说明，相关函数是起始时刻t和时间间隔τ的函数。第二节平稳随机过程1、定义：平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即：对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）。由此可见，平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为，所以它的一维分布与t无关；又所以它的二维分布只与时间间隔τ有关。)122(),,,;,,,(),,,;,,,(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf)(),(),(11111xftxftxf);,(),;,(),;,(2121121221212xxfttttxxfttxxf一、平稳随机过程：（a）平稳随机过程的数学期望为（b）平稳随机过程的方差为由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关；（c）自相关函数：)222()(),()}({)(11adxxxfdxtxxftEta)322()(][),()]([)}({)(212122dxxfaxdxtxftaxtDt2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR2、平稳随机过程的数字特征：满足式（2-2-2）——（2-2-4）的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。)422()(),()();,(),;,(212121221211121221RttRRdxdxxxfxxdxdxttttxxfxx自相关函数只是时间间隔的函数。211121221),;,(dxdxttxxfxx二、随机过程的各态历经性与时间平均值：各态历经性：指随机过程的各个实现，都同样经历了随机过程的各种许可状态。具有各态历经性的平稳随机过程称为遍历平稳随机过程。)(t)(1t)(tn)(,),(),(11211txtxtx)(,),(),(21txtxtxnnn由于是遍历平稳的，和都经历了各种许可状态，有相同的概率密度和分布函数，也就是说，任意时刻的取值在中均能找到，并且取同一值的概率相同。因此，对遍历平稳随机过程，它的任意实现便具有足够的代表性。这样，我们可以用遍历平稳随机过程的某一实现的时间平均值代替统计平均值。)(t)(1t)(1t)(tn)(tn22)(1lim)]([TTTadttxTtEa数学期望：22222])([1lim)]([TTTdtatxTtD方差：自相关函数：22)()()(1lim)]()([)(TTTRdttxtxTttER对遍历平稳随机过程，就其数字特征而言，无需无限次的考察，而只需获得一次考察，从而使“统计平均”化为“时间平均”，简化了计算。[例2-2]试证明随相信号是广义平稳随机过程。其中，是常数，相位是在上均匀分布的随机变量。)cos()(0tAts0,A2~0)cos()(0tAts0,A2~02)(2cos12)]cos([)]()([)(0sin21sincos21cos)}{sinsin}{coscos)}sinsincos{cos)}cos({)(202202220020000000AtEAtAEtmtsEtdtAdtAtEAtEAttAEtAEtm证明：是广义平稳随机过程。以，仅与时间间隔有关，所而均与时间无关，和、可见，)()(),(),()()()(cos2)}22{cos(2cos2)}22cos({cos2)]})(cos[)cos({),(20200202000200tsRttRttRttmRAtEAAtEAtAtAEttR平稳随机过程的自相关函数是特别重要的一个函数，因为平稳随机过程的统计特性可以由自相关函数描述；另一方面，自相关函数还揭示了随机过程的频谱特性。一、平稳随机过程的自相关函数及其性质设ξ(t)是平稳随机过程，其自相关函数具有如下性质：（P16~17）第