图形面积计算技巧

三、图形面积计算技巧为了解决较复杂的图形面积计算问题,我们除掌握基本概念及技术公式外,还应该学会用变动的方法看问题,如恒等变形的计算方法、添加辅助线法、平移法、旋转法,割补法、等积变形、构造等方法.(一)比例法•例1如图,一个长方形被两条平行直线分成四个长方形,其中三个面•积分别是•求?部分的面积?25203022220,25,30dmdmdm2520?30为什么?25×30÷20=3752()dm?•例2如图,一个正方形分成四个长方形,面积如图,求中间的正方形的•面积?4732ABCD解:大正方形的面积是:4+7+3+2=16,大正方形的边长是:4AB:BD=4:7,4164,1111ABAC:CD=3:2312455AC小正方形面积:21216()511•例3如图,已知ΔABC的每边长都是96厘米,用折线把ΔABC分割成•面积相等的四个三角形,那么•CE和CF的长度和是多少•厘米?ABCEDF解:在ΔABC和ΔBDC中,它们高相等,3,4BDCABCSS34CDAC39672(),4cm2,3EDCBDCSS23CECB29664(),3cm,CEFEFDSS72236(),CFFDcm3664100(cm).•练习•1.在ΔABC中,AB、AC两边•分别被分成四等份,阴影部分•面积与ΔABC的面积比是•多少?ABC1122334从上往下看(1+2+3+4):(1+1+2+2+3+3+4)=5:8.•2如图,用面积为1,2,3,4的四张纸片拼成一个大长方形,问阴影部分的面积?1234ABCD解:AB:BD=1:2AC:CD=3:4=7:14=9:122,21BCAD2121(12)(34)212212•例3如图,5,8和10分别代表包含该数字的三角形面积,试问包含x这个•数字的四边形面积?5108xy?:?.xy解把分成和两部分?=4,4854510yy18y18422.x(二)添辅助线法•求部分图形面积时,需借助其它图形作中介,这个中介图形需加辅助线段才能得到,这种方法叫辅助线法求面积.例4如图,ΔABC的面积为224,cmAEBDCAE=EB,BD=2DC,求阴影部分的面积?解:连接EC,,AEEB12BECABCSS212412(),2cm2,BDDC又23BEDBECSS22128().3cm•例5如图,已知正方形的边长是6厘米,E、F分别是CB、CD中点,求四边形ABGD的面积?ABCDEFG解:连接CG,216(62)3412(),2cm2661224().cm•练习4如图,ACEG是梯形,BDFG是正方,GE=30cm,GB=24cm,AC=39cm,求梯形ACEG的面积?ADCEBFG解:连接BE,h梯形ACEG的高2424223019.2(cm),2(3039)19.22662.4().cm•5.如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,四边形BGHF的面积是多少平方厘米?AEBFGHCD解:连接GF,由BF=FC,BFGFGCBGESSS,,BECBDFFDCSSS都是2120430(),cm2113010(),33BFGBECSScm2301020(),GDFScm202303GDFFDCSS2,3GFHHFCSS22104(cm).5GFHS210414().cm(三)等量代换我们经常会遇到一些由基本图形组成的组合图形,它们的面积不能直接应用公式来计算,需要从整体上观察图形,用灵活、巧妙的方法解答这类较复杂的图形计算问题.“等量代换”就是一种简便的方法.它是将一个图形转化为另一个图形的面积,从而找到解题思路.•例6ABCD和CEFG都是正方形,大正方形的边长是12厘米,则ΔBDF的面积是多少平方厘米?ABCDEFG解:连接CF,因为BDCF是梯形,H,BHFDHCSSDBFDBCSS=大正方形面积的一半.21212272().cm•例7已知ΔABC的面积为36,M为AB上的点,且BM:MA=1:2,MD平行于EC,则ΔEBD的面积是多少?AEMBDC解:连接MC,EBDBMCSS13612.3•例8ABCD是边长为10厘米的正方形,三角形ABF的面积比三角形CEF的面积大20平方厘米,求三角形•ACE的面积?ABCDEF条件:ΔABF的面积比ΔCEF的面积大20平方厘米,转化为:ΔABC的面积比ΔACE的面积大20平方厘米,2101022030().cm•练习:6两个半径为2厘米的圆相交,且图中的两个阴影部分的面积相等,求•的长度?12OO1O2O长方形的面积等与两个扇形的面积,21222().4cm•7.BCEF是平行四边形,ΔABC是直角三角形,BC=8cm,AC=7cm,阴影部分的面积比ΔADH的面积大•12平方厘米,求HC的长?BCEFADH平行四边形BCEF的面积ΔABC的面积大12平方厘米.287228(),ABCScm:(2812)85().HCcm•8如图,两个相同的直角梯形重叠在一起,阴影部分的面积()(单位:厘米)5820(20520)822354140().cm•9长方形ABCD的周长是20厘米,在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形,已知这四个正方形•的面积是104平方厘米,求•长方形ABCD的面积?ABCD长+宽:20210(),cm10102104222502624().cm(四)割补法割补法求面积是将不规则的图形经过分割、切拼、补充成一个规则的几何图形,从而求出面积的方法.例9ΔABC是等腰三角形,D是半圆周上的中点,BC是直径,且AB=BC=10分米,求阴影部分的面积?ABCD补21011010()10152222•例10三个圆的半径都是5厘米,三个圆相交于圆心,求阴影•部分的面积?221539.25(cm).2阴影部分的面积和等于圆面积的一半,•例11如果BF长5厘米,长方形AEFD的面积是40平方厘米,•则CD长多少厘米?ADCEFC4058().cm14练习:10如图,A、B是两个圆(只有),那么两个阴影部分的面积差?AB22214443.44,4212424.86,44.863.441.42.•11求图中阴影部分的面积?(单位:cm)44圆的面积-三角形面积142144424212.5684.56().cm•12小圆半径为10,大圆半径为20,那么阴影部分的面积是多少?大圆面积-正方形面积21204040221256800456().cm(五)等分法例12如图有左右两个一样的等腰直角三角形,其面积都是180平方厘米,分别沿着图中的线剪下两个正方形,请你求这两个正方形的面积?左图正方形面积是三角形面积的一半2118090(),2cm•右图的正方形面积是三角形面积的4,92418080().9cm(六)代数法•例12直角梯形ABCD的中位线EF长15厘米,G是EF上一点,ΔABG的面积是梯形面积的,求EG的长?15ADEFGBC条件不够,用字母表示111525ABEGAB6EG•例13如图,FB和EC都与AD垂直FB=8cm,EC=6cm,AQ=5cm,PD=7cm,求六边形ABCDEF的面积?ABCDEFPQ解:82(68)262APPQQD473APPQQD4()3()APPQPQQD2453741().cm•例14如图长方形被分割6个正方形,已知中央正方形的面积为1平方厘米,求原长方形的面积?1中央正方形的边长为1cm,设左上角正方形的边长为,xcmx1x1x2x2x(1)(2)(2)(1)xxxxx6x(67)(65)2143().cm•练习13六张大小不同的小正方形纸片,拼成如图,已知最小的正方形面积为1平方厘米,问图中红色正方形的面积?红最小正方形的边长为1,设左上角正方形的边长为,xx1x1x2x红色正方形的边长为:(1)(2)(1)xxxx44416.•14已知阴影部分的面积是25平方厘米,求图中环形的面积?22)r圆环面积=(R22112522Rr2250Rr502157().cm•15AB与CD是两条垂直的直径,圆O的半径是15厘米,弧AEB是以C为圆心,AC为半径,求阴影部分的面积?ABCEDABCcABSSSS阴影半圆扇形30152ABCS2225()cm212252AC2450AC2111522545024(七)设数法•例15已知长方形的面积是35平方厘米,•ΔABE的面积是5平方厘米,ΔADF的面积是7平方厘米,求ΔAEF的•面积?ABECFD7535=7×5,设长方形长为7厘米,宽为5厘米.:7272(),DFcm:5252(),BFcm2(72)(52)27.5(),EFCScm235757.515.5().AEFScm•例16甲、乙两个正方形的面积都是20平方厘米,阴影部分的哪一块大?大多少?甲乙想:甲圆的面积是正方形面积的几分之几?4乙圆的面积是正方形面积的几分之几?2甲阴影:SS圆正方形220204.3(),4cm乙阴影:SS圆正方形2202011.4().2cm11.4-4.3=7.1(平方厘米)•练习16.已知两个正方形的面积差400平方厘米,则圆A与圆B的•面积差是多少?ABABSS圆圆44ABSS正方形正方形2400314().4cm(八)图形的变换1.平移法:就是在不改变图形面积大小下,通过平移把几部分阴影拼成较规则图形的方法,例17.大小两个半圆,它们直径在同一直线上,弦AB与小半圆相切,且与直径平行.弦AB长12厘米,求图中的阴影的面积?ABOAB通过平移变成右图,阴影部分的面积就是圆环面积的一半.221()2Rr2226Rr2162256.52().cm•例18如图一条白色手帕,它的边长是18厘米,手帕上横竖有两道红条,红条宽都是2厘米.问这条手帕白色部分的面积是多少?把红条向右、向下平移(如图),(1822)(1822)2196().cm•2.反射法:一些轴对称图形,在进行面积计算时,有时可以利用对称的观点,沿图形的对称轴翻转,把两处不规则图形拼成一处规则图形,使解法简便.•例19如图A部分与B部分的面积相差•()平方厘米.AABBO32利用对称观点解题:B部分比A部分面积大2(32)(22)24().cm•练习17求图中阴影部分的面积?•(单位:cm)5202052(52)522502525().cm•3.旋转法:旋转法是将图形绕一个点顺(逆)时针方向转过某一个角度,图形在转动时位置始终保持不变的那一点,叫做旋转中心,图形旋转的角度,叫做旋转角.显然图形在旋转时,它的大小和形状都没有改变.•例20在直角三角形ABC中,四边形AEFD是正方形,BF=77cm,FC=52cm,•求图中两个三角形面积的和?BFCDAE5577直角三角形DFC以F旋转中心,逆时针旋转90度,拼成一个大直角三角形.2527722002().cm•例21ABCD是平行四边形,并且四边相等,ΔEFG,ΔPNM是圆内正三角形,并且面积都是100平方厘米,求平行四边形ABCD的面积?060,ABCABCDEFGPMNΔEFG面积是ΔABC1,4面积的210042800().cm•练习18如图是一个边长10厘米的正方形,在正方形内作一个最大的圆,再在圆中作一个最大的正方形,求小正方形的面积?解法一:22