洛必达法则

1第二节洛必达法则复习一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理()()()fbfafba0)(f设函数f(x)满足条件:),,(ba则至少存在一点),()()3(bfaf(1)在闭区间上连续；ba,(2)在开区间内可导；),(ba设函数f(x)满足条件:),,(ba则至少存在一点(1)在闭区间上连续；ba,(2)在开区间内可导；),(ba2微分中值定理柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,对数学的影响广泛而深远.他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了数学分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,三、柯西中值定理3.)()()()()()(agbgafbfgf设函数f(x)与g(x)满足：),,(ba)()(tfytgxyf(a)t=ξＯf(b)若在拉格朗日定理的几何背景中曲线由参数方程表示,由参数方程的导数公式可推出下述柯西定理。使得则至少存在一点(2)在开区间(a,b)内可导,上连续,(1)在闭区间[a,b]定理,0)(xg内(3)在开区间(a,b)CAB三、柯西中值定理4中值定理之间关系若取g(x)=x,罗尔定理拉格朗日定理柯西定理推广特例推广特例因此拉格朗日定理可以看成是罗尔定理的推广。定理。则得到罗尔在拉格朗日定理中,若取f(a)=f,(b)因此，柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推广。则得到拉格朗日定理。在柯西定理中,)()()()()()(agbgafbfgf()()()fbfafba微分中值定理建立了函数在一个区间上的增量(整体性)与该区间内某点处的导数(局部性)之间的关系,搭建了导数与函数增量之间的桥梁,使导数成为研究函数性态的工具.0)(fg(x)=xf(a)=f,(b)重点56第二节洛必达法则确定未定式的极限是求极限的主要类型．由无穷小的商和无穷大的商形成的法国数学家洛必达给出了解决这些未定式极限的最有力工具——未定式主要有：常见的在同一极限过程下由无穷小与无穷大之间的幂形成的由无穷大与无穷大的差形成的由无穷小与无穷大的积形成的,00型未定式；0型未定式；型未定式；00,1,0型未定式.如何来求解这些未定式的极限？第二节洛必达法则洛必达法则.7;0)(lim,0)(lim)1(00xgxfxxxx若f(x)和g(x)满足下列条件：;0)(,)()(),()2(00xgxgxfxx且存在与可以除外点的某邻域内在点，或)()()(lim)3(0Axgxfxx)()(lim0xgxfxx则定理(洛比达法则)型未定式计算法一00)()()(lim0xgxfxx).(或A型未定式极限洛必达法则与一，00、8,)(lim,)(lim)1(00xgxfxxxx,0)(,)()()()2(00xgxgxfxxxx且存在与，可以除外的某邻域内在则若f(x)和g(x)满足下列条件：定理(洛比达法则)，或)()()(lim)3(0Axgxfxx)()(lim0xgxfxx型未定式计算法二)().()()(lim0或Axgxfxx第二节洛必达法则9对于其它极限形式(1)对于求未定型极限的洛比达法则,或00xxxxxx,,,00(2)在使用洛比达法则求极限时,或00)()(lim0xgxfxx说明:,0xx不仅适用于极限过程未定型,若法则使用后仍为未定型是使用法则求极限的前提.或00判别是否为则法则可以重复使用.法则同样适用.).()()(lim)()(0或Axgxfnnxx)()(lim)3(0xgxfxx)()(lim0xgxfxx...)()(lim0xgxfxx.)()(lim0xgxfxx.)()(lim0xgxfxx第二节洛必达法则10解00解例2求极限.123lim2331xxxxxx123lim2331xxxxxx12333lim221xxxx266lim1xxx66lim1x.2300.1第二节洛必达法则例1.tanlim0xxx求)()(tanlim0xxx原式1seclim20xx.1注意：在多次使用洛必达法则时，一定要注意验证是否满足条件．11.lnlim3xxx求例3解xxxlnlim3xxxlncotlnlim0xxxxxcos1limsinlim00xxxxcossinlim0.lncotlnlim0xxx求例4解极限为未定型,xxx/13lim233limxx由洛必达法则有.1)(型.xxxx1)csc(cot1lim20第二节洛必达法则12解)1ln(tanlim20xxxxxxx20131coslimxxxx2031seclim（等价代换化简）（洛必达法则）先用无穷小等价代换化简，再用洛必达法则得22031seclimxxx30tanlimxxxxxxxx6sectan2lim20.31例5求极限.)1ln(tanlim20xxxxx第二节洛必达法则注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.)00(型13应单独求.sincoslim30xxxxx求xxxxxxsinlimcoslim300例6：为型,由洛必达法则有00解xxxcos13lim20说明：若型或型极限中含有非零因子,00xxxxxsincoslim30xxxsin6lim0.6可以简化极限运算.极限而不要参与洛必达法则运算,xxxxsinlim30第二节洛必达法则14使用洛比达法则应注意的问题：2.使用中要注意化简，以及将极限存在的因式进行必要的分离.3.使用中要注意与重要极限、无穷小等价代换等其他求极限方法结合使用.1.使用前必须判别是否为未定式.或00第二节洛必达法则15由洛必达法则得.5sin)31ln(lim0xxx求由等价无穷小代换,得例7,00型所给极限为解，又xxxxx5~5sin,3~)31ln(,0因为xxx5sin)31ln(lim0xxx5sin)31ln(lim0也可由等价代换求此极限.53xxx5cos5313lim0.53xxx53lim0第二节洛必达法则16二、其它未定式的极限型未定式01.为型未定型.0若,)(lim,0)(lim00xgxfxxxx对于型可将其化为型或型未定型.000)]()([lim0xgxfxx)(1)(lim0xgxfxx.型后者为)]()([lim0xgxfxx则)(1)(lim0xfxgxx型，前者为00第二节洛必达法则17.lnlim0xxx求例8xxxlnlim0解xxx1lnlim0)2.(1lim0xxxx.0二、其它未定式的极限180101.0000型.2步骤:例9).1sin1(lim0xxx求)(例9解).1sin1(lim0xxx求)(0101.0000xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0型.2步骤:二、其它未定式的极限19:,)]([lim.)(有两种方法对于幂指函数的极限xgxf3)()]([lim(1)xgxf,)]([(2))(xgxfy令),0()(ln)(lnxfxgy则.)]([limlnlim)(yxgexfln01ln0ln01000取对数.0)(ln)(limxfxge)0()(ln)(limxfxge二、其它未定式的极限20例10xxx0lim求极限所求极限为型未定式，00,xxy令yxlnlim0xxx0lim解xxylnln则2011limxxxxxx1lnlim0)(lim0xx0e因为所以0limxxxln0limxxxe0lnlim1xxxe20limxxxe解法二,0xxxeln0lim.10e.1xxxlnlim0二、其它未定式的极限21例11:解：求极限xxx11limxxx11limxxxe1ln1limxxxe1lnlimxxxxee11lim111lim0e0.1二、其它未定式的极限22使用洛必达法则求极限时,应注意:但(1)不存在,并不能断定极限(2)也不存在。洛必达法则的核心是,如果极限'()lim()'()fxAorgx可以推出()lim()()fxAorgx(1)(2)洛必达法则并非总有效应改用其他方法此时，(充分而非必要)讨论。只能说明该法则失效。第二节洛必达法则23例证明存在但不能用洛必达法则求解.xxxxsinlim解xxxxsinlim)()sin(limxxxx所以，所给极限存在．该极限不存在.因为1cos1limxxxxxsin1lim.101但由洛必达法则xxcos1lim因此，所给极限不能用洛必达法则求。第二节洛必达法则24201sin(1)limsinxxxx201sin(1)limsinxxxx01limsinsinxxxxx0.解xxxxxxxcos)1(1cos1sin2lim220201sin(1)limsinxxxxxxxxxcos1cos1sin2lim0失效201sin(1)limsinxxxxxxxx1sinlim20xxx1sinlim00.解法二00例第二节洛必达法则25小结,00型未定式0型未定式型未定式00,1,0型未定式一、基本类型：二、非基本类型：洛必达法则第二节洛必达法则26洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111取对数令gfy第二节洛必达法则271、利用极限的四则运算法则2、利用两个重要极限3、利用无穷大与无穷小的关系及无穷小的性质4、利用;)(lim)(lim)(lim000AxfxfAxfxxxxxx6、利用函数的连续性7、利用洛必达法则5、利用无穷小等价代换原理8、利用导数定义).(0xf00)()(lim0xxxfxfxx求函数极限的方法)()(lim00xfxfxx28作业讲评:xarcxxcot)11ln(lim).7(1解:)00(型xarcxxcot)11ln(limxarcxxcot1lim22111limxxx221limxxx.119:16:46292220sincos1lim).8(1xxxx解:)00(型2220sincos1limxxxx224021limxxxx.212120lim).2(2xxex解:2120limxxex)0(型2101lim2xexx33102)2(lim2xxexx210limxxe.tettlim1limtte.或19:16:4630.)11(lim)6(2xxx解:xxx)11(lim2)11ln(2limxxxe