高三一轮总复习理科数学新课标第4章-第3节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第三节平面向量的数量积考纲传真1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．|a||b|cosθ0|b|cosθ菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝＝；(3)分配律：a·(b＋c)＝.λ(a·b)a·(λb)a·b＋a·c菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝a⊥ba·b＝0＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2y1y2|≤x21＋y21x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22·菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0()(3)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(4)在四边形ABCD中，AB→＝DC→且AC→·BD→＝0，则四边形ABCD为矩形()【解析】由向量运算与数量积定义，显然①③正确．在(2)中，若a≠0，b≠0时，应有a⊥b，(2)错．在(4)中，四边形ABCD为菱形，(4)不正确．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2【解析】向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝12，∴θ＝π3.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·bD．|a·b|≤|a|·|b|【解析】|a·b|＝|a||b||cosθ|，故B错误．【答案】B菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2013·全国高考改编)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.【解析】∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0，从而λ＝－3.【答案】－3菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2013·江西高考)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．【解析】由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e21＋6e1·e2＝2＋6×12＝5，所以a在b方向上的射影为|a|·cosa，b＝a·b|b|＝52.【答案】52菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1平面向量数量积的运算【例1】(1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．【思路点拨】(1)把AB→，AC→用AM→，MB→或MC→表示；(2)建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)如图所示，AB→＝AM→＋MB→，AC→＝AM→＋MC→＝AM→－MB→，∴AB→·AC→＝(AM→＋MB→)·(AM→－MB→)＝AM→2－MB→2＝|AM→|2－|MB→|2＝9－25＝－16.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）又E在AB边上，故设E(t,0)(0≤t≤1)．则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)．故DE→·CB→＝1.又DC→＝(1,0)，∴DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t.且0≤t≤1.∴DE→·DC→的最大值为1.【答案】(1)－16(2)11菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本题(1)中用AM→、MB→表示AB→、AC→等．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1(1)(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152(2)在Rt△ABC中，∠C＝π2，AC＝3，取点D，使BD→＝2DA→，则CD→·CA→＝________.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】(1)由已知得AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，因此AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.(2)如图所示，CD→＝CB→＋BD→，又BD→＝2DA→＝23BA→，∴CD→＝CB→＋23BA→＝CB→＋23(CA→－CB→)，菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）因此CD→＝23CA→＋13CB→，由∠C＝π2，知CB→·CA→＝0，且AC＝3，则CD→·CA→＝23CA→＋13CB→·CA→＝23CA2→＋13CB→·CA→＝6.【答案】(1)A(2)6菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2平面向量的垂直【例2】(1)(2014·合肥调研)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.(2)(2013·山东高考改编)已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，试求实数λ的值．【思路点拨】(1)求出a＋c的坐标后，利用(a＋c)·b＝0求出m，进而计算|a|.(2)以AB→，AC→为基底，利用向量垂直的充要条件，表示出关于λ的方程，进而确定参数的值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，∴m＝－12.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【答案】2(2)∵BC→＝AC→－AB→，AP→＝λAB→＋AC→，又AP→⊥BC→，∴AP→·BC→＝0.则(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝(λ－1)AB→·AC→－λAB→2＋AC→2＝0，∴(λ－1)×3×2×－12－λ×9＋4＝0，因此λ＝712.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.(1)非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)易出现“BC→＝OB→－OC→”这种错误，解题时要特别注意．2．(1)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但不能说a⊥b.(2)a⊥b⇔a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2013·福建高考)在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.5B．25C．5D．10【解析】∵AC→·BD→＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC→⊥BD→，则AC⊥BD，四边形ABCD对角线垂直，又|AC→|＝12＋22＝5，|BD→|＝25.∴S四边形ABCD＝12|AC→|·|BD→|＝12×5×25＝5.【答案】C菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3向量的夹角与模【例3】(1)(2014·青岛质检)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π4(2)(2013·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.2－1B.2C.2＋1D.2＋2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)利用坐标运算，求2a＋b与a－b的模、数量积，进而求出夹角．(2)由a·b＝0，求出|a＋b|的值，利用向量模的性质求|c|的最大值．【尝试解答】(1)2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，且|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝932×3＝22，故α＝π4.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)∵a，b是单位向量，且a·b＝0.∴|a|＝|b|＝1.∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，∴|a＋b|＝2.又|c－a－b|＝1，∴|c|－|a＋b|≤|c－a－b|＝1.从而|c|≤|a＋b|＋1＝2＋1.∴|c|的最大值为2＋1.【答案