高中数学选修4-4坐标系

高中数学选修4-4坐标系根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。xO2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.12通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：112xxyy上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点12,pxy（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sinxyx在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。223xxyy设点P（x,y）经变换得到点为,pxy（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sin2xyx在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点P（x,y）经变换得到点为通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。3123xxyy定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)xxyy的作用下，点P(x,y)对应称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0,pxy例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=1213xxyy解：由伸缩变换代入2x+3y=01213xxyy得得x+y=023xxyy22代入x+y=1得2249xy+=11222133xxxxyyyy由伸缩变换得1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线0xxyy1解：设伸缩变换，22代入x+y=1得22221xy224936xy又1312则1312xxyy得221xy2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换后，曲线C变为，求曲线C的方程并画出图形。3xxyy2299xy22得9x-9y=922即x-y=122x-9y=93xxyy2.解：将代入课堂小结：（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。从这里向东北走500米就到了请问：去省实验中学怎么走？问路人好心人请认真分析好心人的回答：“从这里向东北走500米就到了”，他是从哪些方面确定省实验中学位置的？在我们日常生活中人们经常用方向和距离来确定一点的位置，这种用方向和距离确定平面上一点位置的思想，就是极坐标的基本思想。出发点、方向、距离请大家回忆直角坐标系的建立过程，试着建立一个用距离与角度确定平面上一点位置的坐标系.试一试？一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点,叫做极点；引一条射线,叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度）及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。XOOOX如图:极坐标系OX,对比直角坐标系想一想平面上任意一点M的极坐标该如何表示？XOM.想一想？记:M(,)强调：不做特殊说明时,≥0,∈R当=0时，表示极点。表示线段OM的长度，叫做点M的极径;XOM.有序数对(,)就叫做点M的极坐标.表示以OX为始边，射线OM为终边的角,叫做点M的极角;2.极坐标平面上一个定点M(,)的极坐标是否可以写出统一的表达式？思考？1.在极坐标平面上点与坐标的对应关系是怎样的？3.若使极坐标平面上点与坐标也为一一对应关系需增加什么条件？例1：说出图中点A、B、C的极坐标，并标出点所在的位置.),65,4(),4,2(ED)35,5.3(F例2：下图是某校园的平面示意图，点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标。50mBDECA60m120m45o60oOX)0,0(A)0,60(B)3,120(C)2,360(D)43,50(E平面内一点P的直角坐标是，其极坐标如何表示?点Q的极坐标为，其直角坐标如何表示？)1,3(思考？)32,5(),235,25(Q答案：)6,2(P三、极坐标与直角坐标的互化公式)0(tan,222xxyyx直化极：sin,cosyx极化直：例3：互化下列直角坐标与极坐标直角坐标极坐标)3,3()1,3()0,5(直角坐标极坐标)6,4()2,1(),3()2,32()1,0()0,3()65,32()67,2()0,5(2、已知极坐标系中两点，如何求线段|PQ|的长？)6,3(P),2,2(Q推广：极坐标系内两点的距离公式：),(),,(2211QP)cos(2|PQ|2121222119||PQ探索？1、极坐标系中点的对称关系?四、课堂练习ABO2.已知三点的极坐标为,则为()A、正三角形B、直角三角形C、锐角等腰三角形D、等腰直角三角形)310,5(、A)38,5(D)34,5(M1.已知极坐标,下列所给出的不能表示点M的坐标的是())32,5(、B),43,2(),2,2(BACD)3,5(、C)0,0(O3、极坐标与直角坐标的互化公式小结1、极坐标系的四要素2、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。)0(tan,222xxyyxsin,cosyx)2,0[,0