2012年江苏高考数学试题解析版(王琪)含解析

2012年江苏省高考数学试卷解析（全卷满分160分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13VSh，其中S为底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．（2012年江苏省5分）已知集合{124}A，，，{246}B，，，则AB▲．【答案】1,2,4,6。【考点】集合的概念和运算。【分析】由集合的并集意义得1,2,4,6AB。2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．【答案】15。【考点】分层抽样。【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由350=15334知应从高二年级抽取15名学生。3．（2012年江苏省5分）设abR，，117ii12iab（i为虚数单位），则ab的值为▲．【答案】8。【考点】复数的运算和复数的概念。【分析】由117ii12iab得117i12i117i1115i14i===53i12i12i12i14ab，所以=5=3ab，，=8ab。4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是▲．【答案】5。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k2k5k4循环前00第一圈是10第二圈是2－2第三圈是3－2第四圈是40第五圈是54第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。5．（2012年江苏省5分）函数xxf6log21)(的定义域为▲．【答案】06，。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得12660006112log0log6=620xxxxxxx。6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．【答案】35。【考点】等比数列，概率。【解析】∵以1为首项，3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105。7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体1111ABCDABCD中，3cmABAD，12cmAA，则四棱锥11ABBDD的体积为▲cm3．【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】∵长方体底面ABCD是正方形，∴△ABD中=32BDcm，BD边上的高是322cm（它也是11ABBDD中11BBDD上的高）。∴四棱锥11ABBDD的体积为133222=632。由8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为▲．【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由22214xymm得22==4=4ambmcmm，，。∴24===5cmmeam，即244=0mm，解得=2m。9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是▲．【答案】2。【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由2ABAF，得cos2ABAFFAB，由矩形的性质，得cos=AFFABDF。∵2AB，∴22DF，∴1DF。∴21CF。记AEBF和之间的夹角为,AEBFBC，，则。又∵2BC，点E为BC的中点，∴1BE。∴=cos=cos=coscossinsinAEBFAEBFAEBFAEBF=coscossinsin=122212AEBFAEBFBEBCABCF。本题也可建立以,ABAD为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。10．（2012年江苏省5分）设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]，上，0111()201xxaxfxbxx≤≤≤，，，，其中abR，．若1322ff，则3ab的值为▲．【答案】10。【考点】周期函数的性质。【解析】∵()fx是定义在R上且周期为2的函数，∴11ff，即21=2ba①。又∵311=1222ffa，1322ff，∴141=23ba②。联立①②，解得，=2.=4ab。∴3=10ab。11．（2012年江苏省5分）设为锐角，若4cos65，则)122sin(a的值为▲．【答案】17250。【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。【解析】∵为锐角，即02，∴2=66263。∵4cos65，∴3sin65。∴3424sin22sincos=2=3665525。∴7cos2325。∴sin(2)=sin(2)=sin2coscos2sin12343434aaaa2427217==225225250。12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是▲．【答案】43。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离【解析】∵圆C的方程可化为：2241xy，∴圆C的圆心为(4,0)，半径为1。∵由题意，直线2ykx上至少存在一点00(,2)Axkx，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；∴存在0xR，使得11AC成立，即min2AC。∵minAC即为点C到直线2ykx的距离2421kk，∴24221kk，解得403k。∴k的最大值是43。13．（2012年江苏省5分）已知函数2()()fxxaxbabR，的值域为[0)，，若关于x的不等式()fxc的解集为(6)mm，，则实数c的值为▲．【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【解析】由值域为[0)，，当2=0xaxb时有240abV，即24ab，∴2222()42aafxxaxbxaxx。∴2()2afxxc解得2acxc，22aacxc。∵不等式()fxc的解集为(6)mm，，∴()()2622aaccc，解得9c。14．（2012年江苏省5分）已知正数abc，，满足：4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，，则ba的取值范围是▲．【答案】7e，。【考点】可行域。【解析】条件4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，可化为：354acabccabccbec。设==abxycc，，则题目转化为：已知xy，满足35400xxyxyyexy，，求yx的取值范围。作出（xy，）所在平面区域（如图）。求出=xye的切线的斜率e，设过切点00Pxy，的切线为=0yexmm，则00000==yexmmexxx，要使它最小，须=0m。∴yx的最小值在00Pxy，处，为e。此时，点00Pxy，在=xye上,AB之间。当（xy，）对应点C时，=45=205=7=7=534=2012yxyxyyxyxyxx，∴yx的最大值在C处，为7。∴yx的取值范围为7e，，即ba的取值范围是7e，。二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2012年江苏省14分）在ABC中，已知3ABACBABC．（1）求证：tan3tanBA；（2）若5cos5C，求A的值．【答案】解：（1）∵3ABACBABC，∴cos=3cosABACABABCB，即cos=3cosACABCB。由正弦定理，得=sinsinACBCBA，∴sincos=3sincosBAAB。又∵0AB，∴cos0cos0AB，。∴sinsin=3coscosBABA即tan3tanBA。（2）∵5cos05CC，，∴2525sin1=55C。∴tan2C。∴tan2AB，即tan2AB。∴tantan21tantanABAB。由（1），得24tan213tanAA，解得1tan=1tan=3AA，。∵cos0A，∴tan=1A。∴=4A。【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将3ABACBABC表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。（2）由5cos5C，可求tanC，由三角形三角关系，得到tanAB，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．求证：（1）平面ADE平面11BCCB；（2）直线1//AF平面ADE．【答案】证明：（1）∵111ABCABC是直三棱柱，∴1CC平面ABC。又∵AD平面ABC，∴1CCAD。又∵1ADDECCDE，，平面111BCCBCCDEE，，∴AD平面11BCCB。又∵AD平面ADE，∴平面ADE平面11BCCB。（2）∵1111ABAC，F为11BC的中点，∴111AFBC。又∵1CC平面111ABC，且1AF平面111ABC，∴11CCAF。又∵111CCBC，平面11BCCB，1111CCBCC，∴1AF平面111ABC。由（1）知，AD平面11BCCB，∴1AF∥AD。又∵AD平面1,ADEAF平面ADE，∴直线1//AF平面ADE【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】（1）要证平面ADE平面11BCCB，只要证平面ADE上的AD平面11BCCB即可。它可由已知111ABCABC是直三棱柱和ADDE证得。（2）要证直线1//AF平面ADE，只要证1AF∥平面ADE上的AD即可。17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20ykxkxk表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案】解：（1）在221(1)(0)20ykxkxk中，令0y，得221(1)=020kxkx。由实际意义和题设条件知00xk，。∴2202020===10112kxkkk，当且仅当=1k时取等号。∴炮的最大射程是10千