混沌电路的详解.

混沌电路的详解组长：赵昕组员：杨念,李翩，龚婷，吴鹏，王智源，黎好栩，胡园园，刘心宇，张家懿郭磊，邓博，李成目录Ⅰ.混沌电路引言ⅰ.传统非线性电路和现代非线性电路的区别ⅱ.混沌的定义ⅲ.简单混沌电路的介绍ⅳ.产生混沌电路的基本条件Ⅱ.混沌电路常用的微分方程Ⅲ.典型混沌电路及其分析ⅰ.蔡氏电路ⅱ.chen氏电路ⅲ.Liu电路现代电路理论的一个重要内容就是现代非线性电路理论，而现代非线性电路的一个重要内容就是混沌电路。传统的非线性电路主要研究频率变换电路、非线性器件、功率放大电路、振荡电路、模拟乘法电路、混频电路、调制与解调电路以及这些电路中的非线性特性及分析与设计方法等。它的一个主要特征是，当信号经过这种电路后将会产生新的频率分量。现代非线性电路则主要研究混沌电路，而混沌电路的主要研究内容包括混沌电路的概念、数学基础、基本分析方法、基本设计方法、电路中的分形、混沌测量与控制、混沌保密通信、孤立子通信、神经网络电路以及混沌电路在现代通信系统和信号处理中的应用等。“混沌”一词的基本含义是无序、不确定。混沌作为一门科学，至今在学术界尚无统一的定义。一般来说，混沌是自然界中由确定性的运动条件而导致的不确定、如同随机运动的一类运动状态。混沌运动是普遍存在于人类生活、自然科学各个领域的一种基本的非线性现象。当然，混沌也存在于电子学的各个领域，它在电子学中涉及的范围也是相当广泛的。过去，由于技术和观念的局限，我们总是将不少的非线性系统在某个区间内或在一定的条件下简化为线性问题来处理。然而，我们周围的很多事物实际上都是以非线性的规律运行着。混沌学就是力图探索非线性系统运动的真实规律，揭示它的本质，刻画它的基本特征，了解它的动力学行为，并对它加以控制和利用。为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取R=200，L=100µH，变容二极管D选1N4001型，输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化的正弦波电压。林森混沌电路当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i的变化情况时，就会发现如下现象：当输入电压的振幅值Um小于1V时，回路电流i是一个与输入信号同频率、同周期的非正弦电流。回路电流i的频率为f=2MHz，周期为T=1/f=0.5μs。回路电流i的周期变化与输入信号的幅值Um的关系如下图中0～Um1段所示。当输入电压的幅值Um增加至1~2V之间的某一个值Um1时，回路电流i是一个周期性的非正弦电流，而且它的幅度具有如下的规律：在激励信号的第一个周期，响应电流i的振幅较小。而在激励信号的第二个周期，响应电流i的的振幅较大。在激励信号的第三周期，响应电流i的振幅与激励信号的第一个周期时相同。在激励信号的第四个周期，响应电流i的振幅与激励信号的第二个周期时相同。可见，在这个电路中，激励信号变化了四个周期，响应信号变化了两个周期。这种现象称为2周期分岔。以输入激励信号的幅值Um为横轴，以等激励周期横截输出所得点为纵轴，得到倍周期分岔图如下图所示。当输入电压的幅值Um继续增长，例如达到Um2时，回路电流仍为周期性的非正弦电流，但它的周期变为输入信号周期的4倍，即Tm2=4T=1/(4f)。这种现象称为4周期分岔。回路电流i的周期数与输入信号的幅值Um的关系如下图中Um2～Um4段所示。之后，回路电流仍然是周期性的非正弦电流，但它的周期会变为输入信号周期的8倍、16倍。即出现8周期分岔和16周期分岔。自16周期分岔后，电路的电流开始变成非周期性的非正弦电流，而且该电流在一定区域内进行永不重复的振荡，如右图所示。这时我们称电路进入了混沌状态。如果电路的条件不发生变化或在一定的范围内变化，这种状态将会在电路中一直持续下去。输入电压变化时混沌持续进行的这个区域称为混沌区。在该电路中，混沌区实际上是指能够使混沌持续进行的输入电压变化的一个范围。在经过一个混沌区后，随着输入电压幅值的增加，电路中还会出现3周期分岔、6周期分岔、12周期分岔。然后再进入另一个混沌区。上图所示的电压电流关系说明电路产生了混沌现象。这种能产生混沌形象的电路称为混沌电路。一个电路能够产生混沌现象的最基本条件是电路中有非线性元件。如果电路中一个元件的参数随电路变量的变化而变化，则该元件称为非线性元件。常遇到的非线性元件有非线性电阻、非线性电容和非线性电感。如果一个电路中含有非线性元件，则该电路就叫做非线性电路；如果一个非线性电路中只含有非线性电阻，而不含有其他非线性元件，则该电路就叫做非线性电阻电路；如果一个非线性电路中含有非线性电容或非线性电感这样的动态元件，则该电路就叫做非线性动态电路。在混沌电路的分析与设计中常用的几个非线性微分方程与迭代方程是：(1)李纳德(Lienard)方程()()0xfxxgx(2)范德波尔(VanDerPol)方程2(1)0xxxx(3)杜芬(Duffing)方程32cosxxkxaxAt混沌电路常用的微分方程(5)蔡氏电路(Chua’sCuicut，蔡少棠)方程xα(yxG(x))yxyzzy1()()(11)2babGxGxGGxx(6)洛斯勒(Rosslor)方程()()xyzyxaxzbzxc(4)洛伦兹(Lorenz)方程()xyxyxyxzzxyz(7)陈氏(Chen’s，陈关荣)方程()()xayxycaxxzcyzxybz（8）负阻尼振荡器)cos()1(32ftbxyxayyx1983年美国科学家蔡少棠发明了蔡氏混沌电路，促进了现代非线性电路理论的发展。蔡氏电路蔡氏电路的原理如左图所示。用有源电路实现的一种蔡氏电路如右图所示，其中虚线框中的电路就是双运算放大器非线性电阻电路。虚线框外的电路与左图中的完全相同。RLiL17mH2C1C1.5k100nF10nFNLiNLR6RRLiL17mH2C1C100nF10nFO1RO4R2R5R6R22022022k22k3.3k2.2k15V15V15V15V1.5k1v2v典型混沌电路及其分析蔡氏电路状态方程为：2212221112111)(1)(vLdtdivvCGiCdtdvvCGvvCGdtdvLL其中，v1和v2分别是电容C1、C2两端的电压，iL是电感L中的电流，G=1/RNL是等效非线性电阻RNL的电导。G(v1)由下式决定，重写于下：()()()()()()bbaaaaaababaaGVGGEVEIGVGVEVEGVGGEVE≤≤1()2babIGVGV(GG)VEVE或RLiL17mH2C1C1.5k100nF10nFNLiNLR6RRLiL17mH2C1C100nF10nFO1RO4R2R5R6R22022022k22k3.3k2.2k15V15V15V15V1.5k1v2v所以下图电路由v1、v2、iL三个状态变量描述，构成三维相空间。由于G(v1)是非线性电导，可以用多项式函数展开，含有高次项，所以在上式方程组中的第一个方程是非线性方程。蔡氏电路方框图和它的实现电路蔡氏电路电压、电流图形分析典型蔡氏电路的电压v1、v2与电流iL波形如下图所示。这些波形呈现无休止的、非周期的、复杂的运动形态。其中v1与iL在两个正、负数值之间跳来跳去，波形相同而极性相反；v2在零附近无规则地变化。典型蔡氏电路中v1、v2与iL信号波形蔡氏电路的相图是v1-v2-iL三维空间的相轨道流线图。在相平面的投影如图(a)、(b)、(c)所示。典型蔡氏电路双涡旋相图将3个相图画在一起并用立体图的形式表示则如图(d)所示。由相图清楚可见，相图轨线在三维相空间中围绕两个点旋绕并在这两个点之间跳来跳去，永不闭合，运动是无周期的。这样的相图很像两个靠近的旋涡，所以称蔡氏电路的这一个运动形态叫做“双涡旋”。图(e)是三维相图的形象化画法。蔡氏电路元件参数对运动形态的影响蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有不同的拓扑性质。以电路元件参数值作为控制参数可以使蔡氏电路工作在不同的拓扑结构状态。6RRLiL17mH2C1C100nF10nFO1RO4R2R5R6R22022022k22k3.3k2.2k15V15V15V15V1.5k下面以下图电路为例，讨论R在1.298kΩ～1.92kΩ这一范围内变化时电路的状态。先考虑R很大的情况，即R1.92kΩ，如R为100KΩ，电路状态变化中v1与v2相图为稳定焦点，呈蝌蚪形，为衰减振荡，如图(a)所示。这就是不动点。R逐渐减小至1.911kΩ时，等幅振荡。如图(b)所示。R逐渐减小至1.910kΩ时，增幅振荡开始，L、C2振幅增至3.7V，C1两端电压振幅增至3.7V，周期1。(a)稳定焦点，v1波形(b)周期1，v1波形(c)周期3，v1波形(d)单涡旋，v1波形(e)双涡旋，v1波形蔡氏电路v1与v2信号输出波形R为1.918kΩ～1.820kΩ，周期2；R为1.819kΩ～1.818kΩ，周期4；R+1.787kΩ，周期8；R=1.786kΩ，周期16；R继续减少至1.750kΩ为单涡旋图形，这是电路第一次进入单涡旋混沌，为洛斯勒形混沌吸引子。如图(d)所示。(a)稳定焦点，v1波形(b)周期1，v1波形(c)周期3，v1波形(d)单涡旋，v1波形(e)双涡旋，v1波形蔡氏电路v1与v2信号输出波形R继续减小会出现周期3、周期6、周期12等，并第二次进入单涡旋混沌。这样继续周期—混沌—周期—混沌地演变，直至洛斯勒形混沌结束。R减少至R=1.7165kΩ时演变成双涡旋图形。基本范围是R为1.716kΩ～1.300kΩ。仔细调试R值(在1/10000精度内)并仔细观察还会发现，双涡旋混沌相图的演变中也有各种“周期”出现，例如R=1.349kΩ时出现“周期5”，R=1.324kΩ时出现“周期3”等。如图(c)和图(e)所示。(a)稳定焦点，v1波形(b)周期1，v1波形(c)周期3，v1波形(d)单涡旋，v1波形(e)双涡旋，v1波形(f)稳定焦点，v2波形(g)周期1，v2波形(h)周期3，v2波形(i)单涡旋，v2波形(j)双涡旋，v2波形R=1.320kΩ～1.300kΩ，无波形，有一个短暂的不动点。R=1.200kΩ～1.000kΩ时，10.0ms之前不动，之后缓慢增幅振荡从而达到最大振幅，呈单叶周期。各种演变的波形图如图所示。(a)稳定焦点，v1波形(b)周期1，v1波形(c)周期3，v1波形(d)单涡旋，v1波形(e)双涡旋，v1波形(f)稳定焦点，v2波形(g)周期1，v2波形(h)周期3，v2波形(i)单涡旋，v2波形(j)双涡旋，v2波形蔡氏电路v1与v2信号输出波形各种演变的相图如下图所示：蔡氏电路相图中看到的混沌演变(v1-v2相图)Chen氏混沌电路Chen氏混沌系统是Chen等提出的一种新的吸引子。近年来,关于Chen氏系统本身特性的研究以及控制与同步的研究越来越多。目前，关于该系统的电路实现和同步控制的电路实现的研究报道不多。Liu混沌电路自从1963年,Lorenz在三维自治系统中发现了第一个混沌吸引子以来,其混沌理论研究和实际应用得到了极大的关注,但供研究的混沌系统并不多.1999年Chen等采用线性反馈控制方法控制Lorenz混沌系统而发现了一种与Lorenz混沌系统类似但不拓扑等价的Chen混沌系统;2001年和2002年,吕金虎等人相继发现了Lü混沌系统和连接上述三个混沌系统的统一混沌系统;2003年,Liu等发现了在三维连续自治混沌系统中能产生四螺旋混沌吸引子的混沌系统,并用实际的硬件电路证实了该混沌系统的存在.2005年,Qi等在Lorenz混沌系