几种常见的曲面及其方程

•几种常见的曲面及其方程•二次曲面•曲线机动目录上页下页返回结束第四节曲面及其方程即动点为定点为，(,,),Mxyz0000(,,)Mxyz由两点间距离公式得特别,当M在原点时,球面方程为定值为RxyzoM0M表示上(下)球面.222000()()()xxyyzzR2222000()()()xxyyzzR2222xyzR机动目录上页下页返回结束一、几种常见的曲面及其方程1.球面222zRxy例1方程222420xyzxz表示怎样的曲面.解通过配方，把原方程写成222(2)(1)5.xyz对比（1）式知，它表示球心在点（2,0,-1）,半径为的球面.5xyz三、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,222xyR沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面oC在圆C上任取一点1(,,0),MxylM1M(,,)Mxyz点其上所有点的坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束222xyR222xyR222xyRxyzxyzo定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.22221xyabz轴的平面.0xy表示母线平行于C(且z轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l叫做母线.xyzoo机动目录上页下页返回结束22yx2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;准线xoz面上的曲线l3.母线柱面,准线xoy面上的曲线l1.母线准线yoz面上的曲线l2.母线(,)0Fxy方程表示(,)0Gyz方程表示(,)0Hzx方程表示3l机动目录上页下页返回结束xyz1lxxyyzz定义2.一条平面曲线3.旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:机动目录上页下页返回结束建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为(,,),Mxyz当绕z轴旋转时,11(,)0fyz111(0,,),MyzC若点给定yoz面上曲线C:111(0,,)Myz(,,)Mxyz2211,zzxyy则有22(,)0fxyz则有该点转到(,)0fyzozyxC机动目录上页下页返回结束思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？:(,)0Cfyzoyxz22(,)0fyxz机动目录上页下页返回结束例2将面上的椭圆z分别绕y轴和轴旋转，求所形成的旋转曲面方程。解绕轴旋转而成的旋转曲面方程为z即即绕轴旋转而成的旋转曲面方程为yxyOzaab222221yxzab222221xyzab22221yzab2222221xyzbab2222221xyzaabyoz例3求面上的抛物线绕x轴旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。解方程中的x不变，换成便得到旋转抛物线的方程为例4求面上的直线绕z轴旋转一周而成的圆锥面的方程。解所求圆锥面的方程为即xyOzxoy22yzyoz22()xayz2(0)xaya2xay(0)zkyk22zkxy2222()zkxy二、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.222AxByCzDxyEyxFzx0GxHyIzJ(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束1.椭球面2222221(,,)xyzabcabc为正数(1)范围：,,xaybzc(2)与坐标面的交线：椭圆22221,0xyabz22221,0yzbcx222210xzacy机动目录上页下页返回结束黄绿红2222221xyzabc与11()zzzc的交线为椭圆：1zz(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样11()yyyb的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:2222222222111()()abccxyczcz(,,abc为正数)机动目录上页下页返回结束z11()xxxa2222xyzpq2.椭圆抛物面(p,q同号)zyx特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.机动目录上页下页返回结束三、曲线1.曲线方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组2SL0),,(zyxF0),,(zyxG1S例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.xzy1oC2机动目录上页下页返回结束(,,)0(,,)0FxyzGxyz221236xyxz又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.yxza机动目录上页下页返回结束222220zaxyxyaxzyxo空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:()()()xxtyytzzt称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线,vtb令2hb的参数方程为上升高度,称为螺距.M机动目录上页下页返回结束cossinxatyatzvtcossinxayazb2当时，例5设一动点M在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度沿平行于z轴的正方向上升(都是常数)则点M的几何轨迹叫做螺旋线（图7-34），试图建立其参数方程。解取时间t为参数，设t=0时动点在处，动点在点处，过点M作xoy面的垂线，则垂足的坐标为由于是动点在时间t内转过的角度，而线段的长是时间t内动点上升的高度，所以经过时间t，得222xyav,v(,0,0)Aa(,,)Mxyz(,,0)MxyAOMMMMM,AOMtMMvtcoscos,sinsin,.xaAOMatyaAOMatzMMvt从而因此螺旋线的参数方程为cos,sin,.xatyatzvt2.空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为(,)0Hxy消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程(,)00Hxyz(,)00Ryzx(,)00TxzyzyxCC机动目录上页下页返回结束(,,)0(,,)0FxyzGxyzzyxC1o例如,在xoy面上的投影曲线方程为222200xyyz2222221:(1)(1)1xyzCxyz机动目录上页下页返回结束例6求曲线222221,xyzzxy关于面的投影柱面及投影的方程。解将方程组中的第二个方程代入第一个方程，得曲线关于面的投影柱面的方程为2212xy（是圆柱面），在面的投影方程为221,20xyz（是面上的圆）xoyxoyxoyxoy