线性变换

§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵一、线性变换的定义二、线性变换的简单性质§7.1线性变换的定义引入在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一对应.我们常称线性变换.映射.本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性线性变换的定义设V为数域P上的线性空间，若变换:VVA满足：,,VkPkkAA则称为线性空间V上的线性变换.AAAA注意：线性变换保持向量的加法，数量乘法。思考:线性变换和同构映射的区别与联系。线性变换举例“恒等变换”E“零变换”O“数乘变换”A证明：cossin.sincosxxyy其中A几何上常用的坐标旋转变换cossinsincosxxyy即S证明：=Acossinsincosxxxyyy因为，S12212,,,xxkRyy在R中任取向量数则+=[phone]xxxxxxAAAyyyyyyS1212xxyySS===11111111xxxxkAkkAkyyyySS=(())().fxfxD证明：6.闭区间上的全体连续函数构成的线性空间[,]abxafxftdtJ是一个线性变换.,Cab上的变换1．为V的线性变换，则A(0)0,()().AAA线性变换的简单性质2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即1122,rrkkk1122()()()().rrkkkAAAA线性变换的简单性质12r若是，，，的线性组合，12()()()()r则经过线性变换后，是，，，同样的线性组合：AAAAA12r又如果，，，之间有一线性关系式1122=0,rrkkk那他们的像之间也有同样的关系1122()()()=0.rrkkkAAA3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组.即若线性相关，则12,,,r12,,,rAAA也线性相关.事实上，若有不全为零的数使12,,,rkkk11220rrkkk则由2即有，11220.rrkkkAAA线性相关的向量组.如零变换.事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成注意：3的逆不成立，即12,,,rAAA线性相关，未必线性相关.12,,,r3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组.即(2-3)A2()-3()，AA()-4()+7()3AAA=(3-4+7)A练习：下列变换中，哪些是线性变换？3．在线性空间V中，,VA非零固定.4．在中，nnP,nnXAXAPA固定.2．在中，[]nPx2()().fxfxA1．在中，3R1231223,,(2,,).xxxxxxxA5．复数域C看成是自身上的线性空间，().xxA6．C看成是实数域R上的线性空间，().xxA√√√√例2．为一固定非零向量，把V中每3,VRV一个向量变成它在上的内射影是V上的一个线333(,):,,(,)RRR性变换.用表示，即这里表示内积.(,),(,)易验证：kk3,,RkR()(课本320页):1(1)(3)(5)预习7.2，，，ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ