684-第5章 控制系统的稳定性与快速性

第5章控制系统的稳定性与快速性5.1稳定性和快速性的基本概念5.2Routh-Hurwitz判据5.3Nyquist稳定性判据5.4Bode图上的稳定性判据5.7稳定裕度*5.8二阶系统时域与频域之间的关系5.1稳定性和快速性的基本概念稳定指控制系统在外作用消失后自动恢复原有平衡状态或自动地趋向于一个新的稳定平衡状态的能力。如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定。FFmabcde单摆系统稳定倒摆系统不稳定设线性控制系统的闭环传递函数为nnnnnmmmmmasasasasabsbsbsbsbsG122110122110)(闭环系统的特征方程为0122110nnnnnasasasasa特征方程式的根就是系统闭环传递函数的极点。不稳定区不稳定区临界稳定稳定区稳定区s平面j系统稳定，则闭环系统的极点全部分布在s平面的左半平面；系统不稳定，至少有一个极点分布在s平面的右半平面；系统临界稳定，在s平面上的右半平面无极点，至少有一个极点在虚轴上。5.2Routh-Hurwitz判据一.系统稳定的必要条件假设特征方程为0122110nnnnnasasasasa根据代数理论中韦达定理所指出的方程根和系数的关系可知，为使系统特征方程的根都为负实部，其必要条件：特征方程的各项系数均为正。含义：1各项系数符号相同（即同号）2各项系数均不等于0（即不缺项）二.控制系统稳定的充分必要条件0122110nnnnnasasasasa1,01,112,21,2244434241334333231297531186420nnnnnnnnasasaasaaaasaaaasaaaaasaaaaasRouth阵列特征方程全部为负实部根的充分必要条件是Routh表中第一列各值为正，如Routh表第一列中出现小于零的数值，系统就不稳定，且第一列各数符号的改变次数，代表特征方程式的正实部根的数目。例5-1判别特征方程为0516178102345sssss的某系统稳定性。解利用Routh判据56.1956.75.153.651710168161511424123231353144205asasaasaasaaasaaaso符号改变两次，则说明系统有两个正实部的特征根，故系统不稳定。三.Routh判据的特殊情况1.Routh表中某行的第一个元素为零，而其余各元素均不为零或部分不为零。这时用一个很小的正数来代替零元素，Routh表继续进行。2.如果Routh表中出现全零行，表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得导数方程的系数代替全零行，便可按Routh稳定判据的要求继续运算下去，直到得出全部Routh计算表。辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同、符号相反的根数。所有这些数值相同、符号相反的根，都可以从辅助方程中求出。5.3Nyquist稳定性判据若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1,j0)，则系统稳定。如果Nyquist曲线包围临界点(-1,j0)，则系统不稳定。如果系统的Nyquist曲线经过(-1,j0)点，则系统处于临界稳定状态。ReIm(-1,j0)ReReIm(-1,j0)(-1,j0)ImIm(-1,j0)Re如果开环系统不稳定，有P个开环极点位于s右半平面，当从0变化时，开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数为N(反时针方向为正，顺时针方向为负)和开环传递函数在s右半平面上的极点个数P的关系为M=P－2NM：闭环极点在s右半平面的个数如果M为零，闭环系统稳定，否则系统不稳定。如果开环传递函数包含积分环节，假设为型，则绘制开环幅相曲线后，频率再从开始，反时针补画个半径为无穷大的圆。04例1一个单位反馈系统，开环传递函数为)1()(2TssKsG试用Nyquist判据判定系统的稳定性。解系统的开环幅相曲线如图所示。从Nyquist曲线上看到，曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈，即N=-1，而开环传递函数在s右半平面的极点数P=0，因此闭环特征方程正实部根的个数22NPM故系统不稳定。ImRe(-1,j0)5.4Bode图上的稳定性判据(-1,j0)ReImAB(+)(-)C)-L)(-)(+)Bode图上的稳定性判据可定义为一个反馈控制系统,其闭环特征方程正实部根的个数为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相频曲线与-π线的正负穿越之差N=N+-N-来确定,即NPZ2若Z=0，则闭环系统稳定，则闭环系统不稳定0ZZ为闭环特征方程正实部根的个数。例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳定性判据,判断系统的稳定性。已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，1N1N0NNN02NPZ闭环系统稳定。已知P=1，在L(ω)≥0时相频曲线有一次从负到正穿越-π线2/1N02NPZ闭环系统稳定。已知P=2,在L(ω)≥0的范围内,2N1N112NNN02NPZ闭环系统稳定5.7稳定裕度根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚好满足稳定性条件是不够的，还必须留有余地。稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。它包括相位裕度和幅值裕度。1.幅值裕度Kg定义为Nyquist曲线与负实轴(-π)交点处的频率所对应的幅值的倒数，即)()(1gggjHjGKω=ωg称为交点频率。Kg含义：如果系统的开环传递函数增益增大到原来的Kg倍，则系统处于临界稳定状态。正相位裕度G(j)-1gK1正幅值裕度Im负相位裕度负幅值裕度ReG(j)-1gK1ReIm11稳定系统11gK(-1,j0)ReImIII00Kg相同但稳定程度不同的两条开环Nyquist曲线它们具有相同的幅值裕度，但系统I的稳定性不如系统II的稳定性。因此需要增加稳定性的性能指标，即相位裕度2.相位裕度定义为π加上Nyquist曲线上幅值为1这一点的相角，此时ω=ωc称为截止频率。)(c相位裕度的含义为：如果系统截止频率ωc信号的相位迟后再增大度，则系统处于临界稳定状态，这个迟后角称为相位裕度。c由于01lg20)(lg20)(ccAL故在Bode图中，相角裕度表现为L(ω)=0dB处的相角Φ(ωc)与-180度水平线之间的角度差。)-L)cKgg正幅值裕度正相位裕度)-gL)c负幅值裕度Kg负相位裕度)-L)cKgg正幅值裕度正相位裕度)-gL)c负幅值裕度Kg负相位裕度正相位裕度G(j)-1gK1正幅值裕度Im负相位裕度负幅值裕度ReG(j)-1gK1ReIm11不稳定系统11gK0二阶系统频域与时域的关系二阶系统开环频域指标与动态性能指标的关系二阶系统开环频率特性为)2()(2nnjjjGn2arctan2)(开环幅频特性：开环相频特性：222)2()(nnA在ω=ωc时，A(ωc)=11)2()(222nccncAcn14242解得2241arctan22arctan2)(24ncc二阶系统的相位裕度为：242412arctan)(cγ与σ%都只是阻尼比ξ的函数。242412arctan)(c21eγ增加时σ%减小。相位裕度γ可反映时域中超调量σ%的大小，是频域中的平稳性指标。通常为使二阶系统在阶跃函数作用下引起的过程不至于振荡得太厉害，以及调节时间不致太长3060~1相位裕度γ与超调量σ%的关系2γ、ωc与ts关系二阶系统调节时间nst3tan6241324cst若γ一定，ωc与ts成反比。ωc越大，ts越短。开环频域指标ωc可反映系统响应快速性，是频域中的快速性指标。二阶系统闭环频域指标与动态性能指标的关系图示为1类系统所对应的典型闭环幅频特性。1)零频幅值A(0)：指ω=0时的闭环幅频特性值。2)谐振频率指系统产生峰值时对应的频率。3)谐振峰值指在谐振频率处对应的幅值。4)频宽指系统的频率从0开始，对数幅频特性下降-3dB(或幅值下降为)时所对应的频率范围。2/)0(A1谐振峰值Mr与σ%的关系二阶系统的谐振频率221nr谐振峰值为2121rMMr增加时，σ%也增加。系统平稳性较差。二阶系统Mr=1.2～1.5时,对应于σ%=20～30%，系统平稳性及快速性均较好。工程上常用Mr=1.3作为设计系统依据。2Mr、ωb与ts关系42244221nb422442213bst给定Mr，ts与ωb成反比，系统带宽越宽，则调节时间越短。