球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系

（2）球与正三棱锥OPABCDHMOHPABCDM正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH的延长线上，即在锥体外部球心与底面正Δ中心H重合OPACDMHB度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，222)33(hbaRhaPMPHPA2,22即或在RtΔAHO中，222222)()33,RRhbAOHOAH（即OPABCDKH正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH中进行。OH=OK=r.注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角。把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。PHDOKrbrhhKOHDPOPDPKORtPHDRt36hbrhrPDHDOPOKP63sin或222222)63()33(hbhhba设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，斜高为h́，内切圆半径为r，∽bhbhr363正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为（）23622332AH339396122AHPAPHA解：设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ΔABC的中心.延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，∴∠PAM=90°由RtΔ中的射影定理得：232331,22RRPMPHPA，即2323343433）（球RV6.66.3.23.DCBAOPABCDMH法二由AHPH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：23,)33()36(222RRR题目：题目：正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为()解析：OPABCDKHPHDOK设正三棱锥侧棱长为a，底面边长为b，∵三侧棱两两垂直，∴各侧面都是全等的等腰直角三角形。ab2aaabahah3396)33(,222222高斜高bhbhr363代入正三棱锥内切球半径公式：得：aar633333133263323633Rr又正三棱锥外接球半径aR233:)13(.3:)13(.)33(:1.3:1.DCBAD已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PBPAPBPA00PBPA0PCPB0PAPC同理，PB⊥PC,PC⊥PA,即PA、PB、PC两两互相垂直4)2(2222RPCPBPA易知，该三棱锥三个侧面均为RtΔ，所以，其侧面积为2)(21)(21222cbacabcabS解析：222222222,2,2,2cbacabcabcaacbccbabba三式相加得：说明：,,,cPCbPBaPA设则三棱锥的侧面积的最大值为（）41.21.1.2.DCBAA题目：提示：三棱锥三侧面两两垂直三侧棱两两垂直正三棱锥对棱互相垂直，即SB⊥AC,又SB∥MN,且AM⊥MN,所以，SB⊥平面SAC。故，SB⊥SA,SB⊥SC,进而，SA⊥SC.则三侧棱互相垂直。以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，则球的直径设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球大圆的面积为（）32SA在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱则正三棱锥外接球的表面积是（）C48.36.32.12.DCBACRSRSAR选即,364,3,3223SABCMN题目：解析：34.9.32.3.DCBAC巩固练习从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为，则OP的距离为（）34axxaaPOPHPA26,36,22即0PABCHPABCO因PA与球O相切于点A，∴OA⊥PA,同理，OB⊥PB,OC⊥PC.∴RtΔPOA≌RtΔPOB≌RtΔPOC∴PA=PB=PC又∠APB=∠BPC=∠CPA=60°∴ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA、ΔABC为全等的等边三角形，∴P---ABC为正四面体；O---ABC为正三棱锥。解析：先想象一下图形，画出示意图由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面ABC上的射影），则AH⊥PH.在RtΔPAO中，有：222221,xaPOAOPA即又3,2,2,234612222xaaaaa2.21.3.2.DCBAB§4球与棱柱切接问题举例正三棱柱的外接球球心在上下底面中心连线的中点。ΔAOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M222dr21d33r,tRhOMaAMROAAOMR，，，中在设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ΔABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。正三棱柱的内切球如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。rarlhrahl322:,,,)则正三棱柱内切球半径为边长为底面正（即为其高设正三棱柱侧棱长为解:在中,,可得由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.（2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。2420R111ABCABC12ABACAA120BACABC2ABAC120BAC23BCABCOORTOBO5R真题赏析ABCE∟O΄OBACB1A1C1O΄BO΄ORr120（2009江西卷理）正三棱柱内接于半径为2的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．111ABCABC,AB362322,23222,60sin222rrr即：60sin2,180sin23ranran由公式：真题赏析由球面距离公式：得：,Rl332964422rRd83322)22(43243222dadShSV解析：222,2RABAOB设正ΔABC的外接圆半径为r∴球心O到平面ABC的距离为8一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为13棱长为a的正方体外接球的表面积为（）2222.2.3.4.aDaCaBaAB八个球的球心连线构成一个立方体，且其棱长为1.解析：O1O7O1O7MN137171NOMOOOMNd设过对角线O1O7的对角面与球O1、O7分别交于M、N，如图。则所求为：作业：已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为Ｏ，满足,则三棱锥外接球的体积为＿＿＿＿．31630OAOBOCOBADC6,2ABACAD23如图,设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，则AD两点间的球面距离.提示：由已知得：球心O为正三棱锥底面ΔABC的中心。如图，则有ΔPAM为等腰直角三角形，O为斜边PM中点。设底面正Δ边长为a，侧棱长为b，则aaAOhR332332aRb3624312939331231213343313133332aRaaaaShV得：由锥OPABCDMOPABCDM提示：21642222RADACABR∴ΔAOD为等边三角形.323RlAOD即半径为1的球面上有A、B、C三点，B、C间的球面距离是，点A与B、C两点间的球面距离均为，球心为O。23Rl求：①∠AOB，∠BOC的大小；②球心到截面ABC的距离；③球的内接正方体的表面积与球面积之比．解：①∵球面距离2BOC3AOCAOB②∵OA=OB=OC=12,1,BCACABBOC是等腰直角三角形而222,2BCrBCABCBACABC中点，外接圆半径外接圆圆心是的是等腰直角三角形，2221122rRdABCO的距离到截面球心③设球的内接正方体棱长为a，则332,223aRa:24:)332(64:6222RaSS球正：OBACAOBACOBCOCBA的正三角形都是边长为、1AOCAOBA、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离是，点A与B、C两点间的球面距离均为，球心为O。32求：①∠AOB，∠BOC的大小；②球心到截面ABC的距离；③球的内接正方体的表面积与球面积之比．解：①∵球面距离r②∵OA=OB=OC=1③设球的内接正方体棱长为a，则3,2BOCAOCAOB1,2BCACAB414sin,42cosBBABC中，易求在72,2sinrrBAC由正弦定理，72173741222rRdABCO的距离为到截面球心法二：易知AO垂直于平面BOC。OASdSVVOBCABCOBCAABCO3131,：得由721,14347dd：即332,223aRa:24:)332(64:6222RaSS球正：有人抄错题了，把和交换了一下，那么，答案还一样吗？23ACOABOBOCABC则三棱柱的体积为（）在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线,该直线被球面截在球内的线段长为()一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323aDaCaBaA)12(.22.21.41.348.324.316.396.DCBADCaONOM22易知aaaaMN26)21()21(22242)21(22MNOMdMNO的距离为到球心所以，aaadREK228141222222OHR2易知球半径AOH323260OHAHaAOHAOHRt中，在348243,342RaShVa柱MNEKOMNEKO三棱锥P—ABC的四个顶点都在半径为5的球面上，球心在三棱锥内，底面ABC所在的小圆面积为16，则该三棱锥的高的最大值为8.322rRdABCO的距离为：到底面球心4r底面ABC所在小圆半径为8maxdRPHPHO上时，高在高当球心OHPCBA