第1章 动态系统的状态空间描述

动态系统状态空间描述1^_^天气预报^_^摘自中国天气网——尽供参考！动态系统状态空间描述2信箱：[e-mail]专业：自动化、电气答疑：周日晚8-9:306教702周三26045309周五51136501共享信箱：[e-mail]密码：123456789现代控制理论动态系统状态空间描述3绪论0.1控制理论的发展历程简介0.2现代控制理论的主要内容0.3经典控制理论与现代控制理论的联系与比较动态系统状态空间描述40.1控制理论的发展历程简介0.1.1经典控制理论(PID:稳、快、准)⑴形成和发展①在20世纪30-40年代，初步形成。②在20世纪40年代形成体系。频率理论根轨迹法动态系统状态空间描述5⑵以SISO线性定常系统为研究对象。⑶以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在频率域中分析与设计。⑷经典控制理论的局限性①难以有效地应用于时变系统、多变量系统②难以有效地应用于非线性系统。动态系统状态空间描述6①在20世纪50年代形成动态规划法极大值原理卡尔曼滤波②上世纪60年代末至80年代迅速发展。非线性系统大系统智能系统0.1.2现代控制理论⑴现代控制理论的形成和发展动态系统状态空间描述7(2)以MIMO线性、非线性、时变与非时变系统为主要研究对象。(3)以线性代数和微分方程为工具，以状态空间法为基础。现代控制理论的状态空间方法以计算机作为系统建模、分析、设计、控制的工具。动态系统状态空间描述80.1.3上世纪80年代以来出现了新的控制思想和控制理论(1)多变量频率域控制理论。(2)模糊控制理论。动态系统状态空间描述90.2现代控制理论的主要内容⑴线性系统理论⑵最优滤波理论⑶系统辨识⑷最优控制⑸自适应控制⑹非线性系统理论动态系统状态空间描述100.3经典控制理论与现代控制理论经典控制理论：单输入单输出（单变量）现代控制理论：多输入多输出（多变量）、线性或非线性、定常或时变系统。方法：频域与时域综合方法：校正与最优化数学工具：拉普拉斯变换与矩阵论动态系统状态空间描述110.4MATLAB控制系统工具箱简介SIMULINKControlSystemToolboxSystemIdentificationToolboxModelPredictiveControlToolboxFuzzyLogicToolboxNeuralNetworkToolboxNonlinearControlDesignBlockset动态系统状态空间描述120.5矩阵理论知识点要求线性相关与线性无关N阶矩阵行列式的值的求解矩阵的逆矩阵的特征值及特征向量矩阵的＋－×÷运算二次型标准型动态系统状态空间描述130.6参考教材现代控制理论王宏华电子工业出版社现代控制理论刘豹机械工业出版社线性系统理论郑大钟清华大学出版社现代控制理论于长官哈尔滨工业大学出版社动态系统状态空间描述14第一章动态系统的状态空间描述动态系统状态空间描述15主要内容1.1引言1.2动态系统的状态空间模型1.3动态系统数学模型变换1.4离散系统的状态空间描述1.5MATLAB在系统数学模型变换中的应用动态系统状态空间描述1620世纪60年代,人们将状态空间的概念引入控制理论，产生了以状态空间描述为基础,最优控制为核心的现代控制理论。1.1引言状态空间描述状态方程输出方程——反映系统内部状态变量和输入变量间因果关系——表征系统内部状态变量及输入变量与输出变量间的转换关系动态系统状态空间描述171.2动态系统的状态空间模型1.2.1状态空间的基本概念1.2.2动态系统状态空间表达式的一般形式1.2.3状态空间模型的图示1.2.4由系统机理建立状态空间模型示例动态系统状态空间描述181.系统的基本概念系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。静态系统:对于任意时刻t，系统的输出唯一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统例：电阻电路静态系统的输入、输出关系为代数方程Rtuti)()(1.2.1状态空间的基本概念动态系统状态空间描述19动态系统:对任意时刻t，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关。动态系统亦称为有记忆系统动态系统的输入、输出关系为微分方程例：电感电路ttdLtutiti0)()()(0系统的基本概念动态系统状态空间描述202.动态系统的两类数学描述U动态系统的数学描述外部描述内部描述——直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系传递函数状态变量x1x2…xn1Y动态系统状态空间描述21考察下图所示的n级RC网络。图中虚线框内为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。buyayayaynnnn)1(1)1(1)(系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为下式所示的高阶线性常系数微分方程,即动态系统状态空间描述22(2)内部描述（状态空间表达式）内部描述（状态空间描述）状态方程输出方程——反映系统内部状态变量x1,x2,…,xn和输入变量u1,u2,…,ur间因果关系——表征系统内部状态变量x1,x2,…,xn及输入变量u1,u2,…,ur与输出变量y1,y2,…,ym间的转换关系连续时间系统:一阶微分方程组，离散时间系统:一阶差分方程组数学表达式的形式为代数方程动态系统状态空间描述23cnLLuRRRy0)1(122222211111111dd11dd11ddncnncnnncncccccuCRuCRtuuCRuCRtuuCRuCRtu考察下图电网络利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组外部描述的传递函数？动态系统状态空间描述243.系统状态空间描述的基本概念动态系统的状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量的数目最小）。(1)动态系统的状态(2)状态变量含义？动态系统状态空间描述25【例】确定图1-5所示电路的状态变量。要唯一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC(t0)，或者说uC(t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC(t)和i(t)是该电路的状态变量。图1-5RLC电路q(t)?动态系统状态空间描述26设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看作向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间)()()(1txtxtnx(3)状态向量(4)状态空间动态系统状态空间描述27系统的状态是时间t的函数。在不同时刻，系统状态不同，则随着t的变化,状态向量的端点不断移动，其移动的路径就称为系统的状态轨迹。(5)状态轨迹(6)状态方程描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）动态系统状态空间描述28【例】建立图1-5所示RLC电路的状态方程。取电容上的电压uC(t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有)(d)(dtittuCc图1-5RLC电路)()()(d)(dtututRittiLc动态系统状态空间描述29将状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为)(1)()(1d)(d)(1d)(dtuLtiLRtuLttitiCttucc上式即为RLC电路的状态方程,并将其写成向量-矩阵形式，即)(10)()(110d)(dd)(dtuLtituLRLCttittucc动态系统状态空间描述30)(10)()(110d)(dd)(dtuLtituLRLCttittucc)(),(21tixtuxc令21xxx21d)(dxxttxx记，，(*)式可简写为uBAxx式中,LRLC110AL10B,(*)动态系统状态空间描述31在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量及输入变量间的函数关系式将上式写成向量-矩阵形式,得)()(01)(titutyc2101xxy或可简写为Cxy式中,]01[C1)()(xtutyc(7)输出方程例:RLC电路中，若指定uC(t)为输出，且输出一般用y(t)表示，则输出方程为动态系统状态空间描述32(8)状态空间表达式状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述2121210110110xxyuLxxLRLCxx例:RLC电路中，若uC(t)为输出,取x1=uC(t),x2=i(t)作为状态变量,则其状态空间表达式为动态系统状态空间描述33正确理解状态空间的基本概念，注意如下几点：(1)系统的输出和系统状态在概念上的不同性。输出是期望得到的信息，状态是描述系统运动行为的一组信息；输出为状态的线性组合；输出一般可以测量，状态一般不可测量。(2)状态变量的非唯一性。系统的内部变量个数一般大于状态的维数。n个线性无关的内部变量可取为系统的状态变量。例：RLC电路的状态变量选取uC(t)i(t)q(t)。动态系统状态空间描述34(3)任意两组状态变量之间的线性非奇异变换关系。xTxPxxIPTTP(4)选取不同的状态变量，系统为不同的状态空间表达式同一个系统的不同状态空间表达式可以通过非奇异变换相互转换。动态系统状态空间描述35(9)工程问题中状态变量的选取(1)动态系统需用微分方程描述是因为动态系统含有储能元件。对同一系统的任何一种不同的状态空间表达式而言,其状态变量的数目是唯一的,必等于系统的阶数,即系统中独立储能元件的个数。在具体工程问题中，可选取独立储能元件的能量方程中的物理变量作为系统的状态变量。动态系统状态空间描述36(2)状态变量不一定是物理可测量的，有时仅有数学意义而无任何物理意义。在具体工程问题中，为了实现状态的反馈控制，以选择容易测量的量作为状态变量为宜。例如,选择电路中电容上的电压和流经电感的电流作为状态变量。(3)n阶微分方程描述的系统状态变量的选取。当n个初始条件x(t0)…x(n-1)(t0)及t≥t0的输入给定时，可唯一确定微分方程的解，即状态。)(,),(),()1(txtxtxn动态系统状态空间描述371.单输入单输出线性定常连续系统设单输入单输出线性定常n阶连续系统，n个状态变量为x1(t),x2(t),…,xn(t),其状态方程的一般形式为输出方程的一般形式为Duxcxcxcynn2211ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn22112222212121121211111.2.2动态系统状态空间表达式的一般形式动态系统状态空间描述38则其向量-矩阵方程形式的状态空间表达式为Duxxxcccyubbbxxxaaaaaaaaaxxxnnnnnnnnnnn2121212121222211121121动态系统状态空间