专题十二 方案设计问题1

BestWishForYou信心源自于努力方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，题型变化较多，不仅有方程、不等式、函数，还有几何图形的设计等.方案设计题型是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案.有时也给出几个不同的解决方案,要求判断哪个方案较优.它包括与方程、不等式有关的方案设计、与函数有关的方案设计和与几何图形有关的方案设计.解决与方程和不等式有关的方案设计的题目，通常利用方程或不等式求出符合题意的方案；而与函数有关的方案设计一般有较多种供选择的解决问题的方案，但在实施中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，通常用函数的性质进行分析；与几何图形有关的方案设计，一般是利用几何图形的性质，设计出符合某种要求和特点的图案.方程、不等式方案设计方程、不等式方案设计问题主要是利用方程、不等式的相关知识，建立相应的数学模型，利用列方程(组)和不等式(组)，通过有关的计算，找到方程(组)的解和不等式(组)的解集，再结合题目要求，确定未知数的具体数值.未知数有几个值，即有几种方案.【例1】(2010·岳阳中考)某货运码头，有稻谷和棉花共2680t，其中稻谷比棉花多380t.(1)求稻谷和棉花各是多少？(2)现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共50个，将这批稻谷和棉花运往外地.已知稻谷35t和棉花15t可装满一个甲型集装箱；稻谷25t和棉花35t可装满一个乙型集装箱.按此要求安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？【思路点拨】【自主解答】(1)设稻谷为xt，棉花为yt.根据题意，得答：稻谷、棉花分别为1530t、1150t.xy2680x1530,.xy380y1150解得(2)设安排甲型集装箱x个，则乙型集装箱(50－x)个.根据题意，得解得28≤x≤30.又因为x为整数,∴x＝28、29、30,∴共有三种方案:方案一：安排甲型集装箱28个，乙型集装箱22个；方案二：安排甲型集装箱29个，乙型集装箱21个；方案三：安排甲型集装箱30个，乙型集装箱20个.35x2550x1530,15x3550x11501.(2010·宜宾中考)小明利用课余时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下表.为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案?请说明理由.【解析】设购买大笔记本为x本，则购买小笔记本为(5-x)本，依题意，得解得1≤x≤3.∵x为整数,∴x的取值为1，2，3.当x=1时，购买笔记本的总金额为6×1+5×4=26(元)；当x=2时，购买笔记本的总金额为6×2+5×3=27(元)；当x=3时，购买笔记本的总金额为6×3+5×2=28(元).∴应购买大笔记本1本，小笔记本4本，花钱最少.6x55x28,100x605x3402.(2010·德化中考)某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价)(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?(2)若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案?并直接写出其中获利最大的购货方案.【解析】(1)设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件.根据题意，得答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件.xy160,2015x4535y1100x100.y60解得：(2)设甲种商品购进a件，则乙种商品购进(160-a)件.根据题意，得解不等式组，得65＜a＜68.∵a为非负整数，∴a取66，67.∴160-a相应取94，93.所以有两种购货方案.方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件.其中获利最大的是方案一.15a35160a4300,2015a4535160a12603.(2011·凉山中考)我州苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.现有A型、B型、C型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满.根据下表信息，解答问题.(1)设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式.(2)如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案.【解析】(1)方法一：根据题意得4x+6y+7(21-x-y)=120化简得：y=-3x+27.方法二：根据题意得2x+4y+2x+(21-x-y)+2y+6(21-x-y)=120化简得：y=-3x+27.(2)由∵x为正整数，∴x=5,6,7故车辆安排有三种方案，即：方案一：A型车5辆，B型车12辆，C型车4辆.方案二：A型车6辆，B型车9辆，C型车6辆.方案三：A型车7辆，B型车6辆，C型车8辆.x4x4y4,3x274,21xy421x3x27425x7.3得解得函数方案设计函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，确定函数关系式.利用函数图象的性质获得解决问题的具体方法.解决此类问题的难点主要是正确确定函数关系式，关键还要熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的取值范围.【例2】(2010·柳州中考)某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共300株.已知甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元.(1)若购买树苗共用21000元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？(2)据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为0.2和0.6，问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的空气净化指数之和不低于90而且费用最低？【思路点拨】【自主解答】(1)设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗(300-x)株.依题意,得60x+90(300-x)=21000,解得x=200,∴300-x=300-200=100(株),答：购买甲种树苗200株，乙种树苗100株.(2)设购买x株甲种树苗，(300-x)株乙种树苗时,该小区的空气净化指数之和不低于90.依题意,得0.2x+0.6(300-x)≥90,0.2x+180-0.6x≥90,-0.4x≥-90,x≤225,此时费用y=60x+90(300-x),y=-30x+27000.∵y是x的一次函数，且y随x的增大而减小,∴当x=225时，y最小=-30×225+27000=20250(元),即当购买225株甲种树苗，75株乙种树苗时,该小区的空气净化指数之和不低于90，且费用最低为20250元.4.(2010·泰安中考)某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费.(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数关系式；(2)电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？(3)印刷数量在什么范围时，在甲厂印制合算？【解析】(1)甲厂的收费y甲(元)与印制数量x(份)之间的函数关系式为y甲=x+1000,乙厂的收费y乙(元)与印制数量x(份)之间的函数关系式为y乙=2x.(2)根据题意：若找甲厂印制，可以印制的份数x满足3000=x+1000,解得x=2000,若找乙厂印制，可以印制的份数x满足3000=2x,解得x=1500,∵20001500,∴找甲厂印制的宣传材料多一些.(3)根据题意,可得x+10002x,解得x1000,即当印制数量大于1000份时，在甲厂印制合算.5.(2011·盐城中考)利民商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题:(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件，经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？【解析】(１)设甲、乙两种商品的进货单价分别为x元和y元，依据题意得：所以甲、乙两种商品的进货单价分别为2元和3元.xy5x2,.3x122y119y3解得(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w元，根据题意，得：所以当m为0.55元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润为1705元.2mmw(500100)21m2(300100)0.10.1(231m3)2000m0.551705m0.55w1705,最大当时，元6.(2010·凉山中考)下表是西昌市到攀枝花市两条线路的有关数据.(1)若小车在高速路上行驶的平均速度为90km/h,在108国道上行驶的平均速度为50km/h,则小车走高速公路比走108国道节省多少时间?(2)若小车每千米的油耗量为xL,汽油价格为7.00元/L.问x为何值时,走哪条线路的总费用较少?(总费用=过路费+油耗费)(3)公路管理部门在高速路口对从西昌市到攀枝花市五类不同油耗的小车进行统计,得到平均每小时通过的车辆数的频数分布直方图如图所示.请估算10h内这五类小车走高速公路比走108国道节省了多少升汽油.(以上结果均保留两位有效数字)【解析】(1)即小车走高速公路比走108国道节省约2.9h.(2)设小车走高速公路的总费用为y1元,走108国道的总费用为y2元,则y1=7×185·x+120,即y1=1295x+120,y2=7×250·x,即y2=1750x.当y1=y2时,即1295x+120=1750x,解得x≈0.26;当y1y2时,即1295x+1201750x,解得x0.26;当y1y2时,即1295x+1201750x,解得x0.26.2501852.9h.5090∴当x≈0.26L/km时,小车走两条路的总费用相等;当x0.26L/km时,小车走108国道的总费用较少;当x0.26L/km时,小车走高速公路的总费用较少.(3)10×(250-185)×(100×0.26+200×0.28+500×0.30+500×0.32+100×0.34)=276900≈2.8×105(L).即10h内这五类小车走高速公路比走108国道大约节省了2.8×105L汽油.图形方案设计图形方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，把对作图的技能的考查放在一个实际生活的大背景下，从而考查了学生的综合创新能力，给同学们的创造性思维提供了广阔的空间与平台.此类题常利用某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，利用图形的性质，或利用轴对称和中心对称等，拼出符合某些条件的图形.【例3】(2010·枣庄中考)在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.【思路点拨】确定一条直线为对称轴，然后再画出△DEF，使其与△ABC关于这条直线成轴对称.【自主解答】答案不惟一，如：7.(2010·新疆中考)用四块如图(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形).【解析】答案不惟一，如：8.(2011·成都中考)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形AB