2019-2020学年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷

2019-2020学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.1．若不等式220axbx的解集是11|23xx，则(ba)A．112B．112C．16D．162．已知10a，0b，则b，ab，2ab的大小关系是()A．2bababB．2ababbC．2abbabD．2babab3．已知数列{}na的前n项和3(nnSkk为常数），那么下述结论正确的是()A．k为任意实数时，{}na是等比数列B．1k时，{}na是等比数列C．0k时，{}na是等比数列D．{}na不可能是等比数列4．已知1x，则函数1()1fxxx的最小值为()A．4B．3C．2D．15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}na，则此数列的项数为()A．134B．135C．136D．1376．定义在(1,)上的函数()fx满足()cos0fxx，且(0)1f，则不等式()sin1fxx的解集为()A．(,0)B．(1,0)C．(0,)D．(1,1)7．数列1(2)nn的前n项和为()A．2354(1)(2)nnnnB．2352(1)(2)nnnnC．12(2)nnD．12nn8．在各项均为正数的等比数列{}na中，63a，则484(aa)A．有最小值12B．有最大值12C．有最大值9D．有最小值99．若函数3()2fxxax在区间(1,)内是增函数，则实数a的取值范围是()A．[3，)B．(3,)C．[0，)D．(0,)10．函数()fx的定义域为(,)ab，其导函数()fx在(,)ab内的图象如图所示，则函数()fx在区间(,)ab内极小值点的个数是()A．4B．3C．2D．111．下列说法正确的是()A．若x，0y，2xy，则22xy的最大值为4B．若12x，则函数1221yxx的最大值为1C．若x，0y，3xyxy，则xy的最小值为1D．函数2214sincosyxx的最小值为912．已知数列{}na为等差数列，其前n项和为nS，且13623aaS，则下列结论正确的是()A．100aB．10S最小C．712SSD．190S13．已知函数()fxxlnx，若120xx，则下列结论正确的是()A．2112()()xfxxfxB．1122()()xfxxfxC．1212()()0fxfxxxD．当1lnx时，112221()()2()xfxxfxxfx二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.14．已知b克糖水中含有a克糖(0)ba，若再添加m克糖(0)m，则糖水就变得更甜了．试根据这一事实归纳推理得一个不等式．15．已知数列{}na的前n项和为2233nSnn，则数列{}na的通项公式为．16．设()||fxlnx，若函数()()gxfxax在区间(0,4)上有三个零点．则实数a的取值范围是．17．将边长分别为1，2，3，，n，*()nN的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为f（1），f（2），f（3），，()fn，，则()fn，前n个阴影部分图形的面积的平均值为．三、解答题：本大题共6个小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．设函数323(1)4()1()322affxxxxaR．（1）若函数()fx在1x处取得极值，求a的值；（2）若不等式2()1fxxxa对任意(0,)a都成立，求实数x的取值范围．19．已知正项等比数列{}na是单调递增数列，且34a与53a的等差中项为44a，3a与7a的等比中项为16．（1）求数列{}na的通项公式；（2）令21lognnba，求数列{}nnab的前n项和nS．20．甲、乙两地相距120km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过110/kmh．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：/)kmh的平方成正比，且比例系数为b，固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元)表示为速度v的函数，并求出当64a，1144b时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当100a，1144b元，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小．21．已知函数1()xfxex．（1）求()yfx在点(2，f（2）)处的切线方程；（2）若存在4[0,1]3xln，满足10xaex成立，求实数a的取值范围．22．已知函数()tan1fxx在(0,)上的零点按从小到大的顺序构成数列*()naaN．（1）试判断数列{}na是否为等差数列，并说明理由；（2）设42nnnba，求数列{}nb的前n项和nS．23．已知函数2()fxxaxlnx（1）判断()fx的单调性；（2）若函数()fx存在极值，求这些极值的和的取值范围．2019-2020学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.1．若不等式220axbx的解集是11|23xx，则(ba)A．112B．112C．16D．16【解答】解：220axbx的解集是11|23xx，11,23是方程220axbx的根，01123aba，则16ba故选：D．2．已知10a，0b，则b，ab，2ab的大小关系是()A．2bababB．2ababbC．2abbabD．2babab【解答】解：取特殊值：12a，1b，则12ab，214ab，故2babab，故选：D．3．已知数列{}na的前n项和3(nnSkk为常数），那么下述结论正确的是()A．k为任意实数时，{}na是等比数列B．1k时，{}na是等比数列C．0k时，{}na是等比数列D．{}na不可能是等比数列【解答】解：数列{}na的前n项和3(nnSkk为常数），113ask2n…时，11113(3)3323nnnnnnnnasskk当1k时，12a满足123nan当0k时，13a不满足123n故选：B．4．已知1x，则函数1()1fxxx的最小值为()A．4B．3C．2D．1【解答】解：110xx由基本不等式可得，111()112(1)13111fxxxxxxx…当且仅当111xx即11x时，2x时取等号“”故选：B．5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}na，则此数列的项数为()A．134B．135C．136D．137【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514nan．由15142016nan„，得135n„，故此数列的项数为135．故选：B．6．定义在(1,)上的函数()fx满足()cos0fxx，且(0)1f，则不等式()sin1fxx的解集为()A．(,0)B．(1,0)C．(0,)D．(1,1)【解答】解：令()()sinFxfxx，得()()cosFxfxx，又()cos0fxx()0Fx()Fx在区间(1,)上单调递减又(0)1f，(0)(0)sin01Ff不等式()sin1fxx即为()(0)FxF0x．故选：C．7．数列1(2)nn的前n项和为()A．2354(1)(2)nnnnB．2352(1)(2)nnnnC．12(2)nnD．12nn【解答】解：数列的通项1111[](2)22nnnn，数列1(2)nn的前n项和为：1111111[(1)(2)()()]234352nn1111(1)2212nn2354(1)(2)nnnn．故选：A．8．在各项均为正数的等比数列{}na中，63a，则484(aa)A．有最小值12B．有最大值12C．有最大值9D．有最小值9【解答】解：各项均为正数的等比数列{}na中，63a，则24848664244412aaaaaa…．当且仅当4846aa时取等号．故选：A．9．若函数3()2fxxax在区间(1,)内是增函数，则实数a的取值范围是()A．[3，)B．(3,)C．[0，)D．(0,)【解答】解：2()3fxxa，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，()0fx…在[1，)上恒成立，即23ax…，恒成立，只需a大于23x的最大值即可，而23x在[1，)上的最大值为3，所以3a…．即数a的取值范围是[3，)．故选：A．10．函数()fx的定义域为(,)ab，其导函数()fx在(,)ab内的图象如图所示，则函数()fx在区间(,)ab内极小值点的个数是()A．4B．3C．2D．1【解答】解：从()fx的图象可知()fx在(,)ab内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知在(,)ab内只有一个极小值点．故选：D．11．下列说法正确的是()A．若x，0y，2xy，则22xy的最大值为4B．若12x，则函数1221yxx的最大值为1C．若x，0y，3xyxy，则xy的最小值为1D．函数2214sincosyxx的最小值为9【解答】解：A若x，0y，2xy，则2222224xyxy…，当且仅当1xy时等号成立，没有最大值，故A错误；B若12x，即210x，则函数112112(21)112121yxxxx„，当且仅当0x等号成立，故B正确；C若x，0y，()2xyxy„，3()32xyxyxy„，即230xyxy„，解得1xy„，当且仅当xy时等号成立，没有最小值，故C错误；D数22222222222222141444(sincos)()5529sincoscosxsinxcosxsinxyxxxxsinxcosxsinxcosxsinxcosx…，当且仅当222sincosxx时等号成立，故D正确；故选：BD．12．已知数列{}na为等差数列，其前n项和为nS，且13623aaS