解排列组合应用题的26种策略

本材料第1页（共16页）解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有11nknkA种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有kkA种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共11nkknkkAA·种．例1.edcba,,,,五人并排站成一排，如果ba,必须相邻且b在a的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把ba,视为一人，且b固定在a的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种，答案：D.例2有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有22A种排法；女生内部的排法有33A种，男生内部的排法有44A种．故合题意的排法有234234288AAA··种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻()knk≤，有多少种排法？先把()nk个元素排成一排，然后把k个元素插入(1)nk个空隙中，共有排法1knkA种．本材料第2页（共16页）例3五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有55A种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有56A种排法，故符合条件的站法共有555686400AA·种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600AA种，选B.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有nnA种排法；k个不同元素排列成一排共有kkA种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的kkA分之一．故符合条件的排列共nnkkAA种．例5.edcba,,,,五人并排站成一排，如果b必须站在a的右边（ba,可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：b在a的右边与b在a的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A种，选B.例6.A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有55A种排法．A，B两个元素的排列数为22A；D，E两个元素的排列数为22A．因此，符合条件的排列法为55222230AAA·种．本材料第3页（共16页）4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。解：由题意，先借7人一排坐好，再安排3在8个空中找3个空插入，最后撤出借来的7人。得不同的坐法共有773877/AAA种。6、有序分配问题----逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例9.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520CCC种，选C.（2）学生会的12名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查，若每个年级4人，则不同的分配方案有（）A、4441284CCC种B、44412843CCC种C、4431283CCA种D、444128433CCCA种答案：先从12人中选出4人到第一个年级，再从剩下的8人中选4人到第二个年级，第三步从剩下的4人中选4人到第三个年级，不同的选法共有4441284CCC种，选A.7、平均分堆问题---除序法:本材料第4页（共16页）例10.12本不同的书，平均分为3堆，不同的分法种数为多少种。解：先从12本书中选出4本到第一堆，再从剩下的8本中选出4本到第二堆，第三步从剩下的4本中选4本到第三堆，但题中是不要堆序，所以不同的分法共有444128433CCCA种。8、全员分配问题---分组法:例11.（1）4名优秀学生全部保送到3所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C种方法，再把三组学生分配到三所大学有33A种，故共有234336CA种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种答案：B.9、名额分配问题---隔板法:例12：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C种.10、限制条件的分配问题---分类法:例13.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；③若乙参加而甲不参加同理也有383A种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A种，共有287A方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088AAAA种.本材料第5页（共16页）11、多元问题----分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例14（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A个，1131131131343333323333,,,AAAAAAAAAAA个，合并总计300个,选B.（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做7,14,21,98A共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做1,2,3,4,,100A共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有214C，从A中任取一个，又从A中任取一个共有111486CC，两种情形共符合要求的取法有2111414861295CCC种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将1,2,3,100I分成四个不相交的子集，能被4整除的数集4,8,12,100A；能被4除余1的数集1,5,9,97B，能被4除余2的数集2,6,,98C，能被4除余3的数集3,7,11,99D，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从,BD中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525CCCC种.12、交叉问题----集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()nABnAnBnAB.例15.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，本材料第6页（共16页）共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()nInAnBnAB43326554252AAAA种.13、定位问题----优先法：有限制条件，某个或几个元素要排在指定位置，通常要优先考虑这个或几个元素受限位置或受限元素，再排其它的元素。若反面情况较为简单时，则用排除法求解．例16.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，现要派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）．解：由题意，先安排3名主力队员在第一、三、五位置，有33A种；再安排其余7名队员选2名在第二、四位置有27A种；由乘法原理，得不同的出场安排共有3237252AA·种．例17.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有13A种，4名同学在其余4个位置上有44A种方法；所以共有143472AA种。.14、多排问题----单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例18.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A种，选C.（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余5个元素任排5个位置上有55A种，故共有1254455760AAA种排法.本材料第7页（共16页）15、“至少”“至多”问题----间接排除法或分类法:例19.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种,选.C解析2：