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本材料第1页(共16页)解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理,分类用加法原理,分步用乘法原理,问题在于怎样合理地进行分类、分步,特别是在分类时如何做到既不重复,又不遗漏,正确分每一步,这是比较困难的。要求我们周密思考,细心分析,理解并掌握解题的常用方法和技巧,掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法:n个不同元素排列成一排,其中某k个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法?先将这k个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其它元素一起排列,共有11nknkA种排法.然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有kkA种方法.由乘法原理得符合条件的排列,共11nkknkkAA·种.例1.edcba,,,,五人并排站成一排,如果ba,必须相邻且b在a的右边,那么不同的排法种数有()A、60种B、48种C、36种D、24种解析:把ba,视为一人,且b固定在a的右边,则本题相当于4人的全排列,4424A种,答案:D.例2有3名女生4名男生站成一排,女生必须相邻,男生必须相邻,共有多少种不同的站法?解:先把3名女生作为一个整体,看成一个元素,4名男生作为一个整体,看成一个元素,两个元素排列成一排共有22A种排法;女生内部的排法有33A种,男生内部的排法有44A种.故合题意的排法有234234288AAA··种.2.相离排列——插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排,其中k个元素互不相邻()knk≤,有多少种排法?先把()nk个元素排成一排,然后把k个元素插入(1)nk个空隙中,共有排法1knkA种.本材料第2页(共16页)例3五位科学家和五名中学生站成一排照像,中学生不相邻的站法有多少种?解:先把科学家作排列,共有55A种排法;然后把5名中学生插入6个空中,共有56A种排法,故符合条件的站法共有555686400AA·种站法.例4.七位同学并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是()A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析:除甲乙外,其余5个排列数为55A种,再用甲乙去插6个空位有26A种,不同的排法种数是52563600AA种,选B.3、定序问题---倍缩法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排,其中某k个元素的顺序保持一定,有多少种不同排法?n个不同元素排列成一排,共有nnA种排法;k个不同元素排列成一排共有kkA种不同排法.于是,k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的kkA分之一.故符合条件的排列共nnkkAA种.例5.edcba,,,,五人并排站成一排,如果b必须站在a的右边(ba,可以不相邻)那么不同的排法种数是()A、24种B、60种C、90种D、120种解析:b在a的右边与b在a的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即551602A种,选B.例6.A,B,C,D,E五个元素排成一列,要求A在B的前面且D在E的前面,有多少种不同的排法?解:5个不同元素排列一列,共有55A种排法.A,B两个元素的排列数为22A;D,E两个元素的排列数为22A.因此,符合条件的排列法为55222230AAA·种.本材料第3页(共16页)4、标号排位问题---分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.例7.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,选B.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位,3人去坐,每两人之间都要留空位,共有种坐法。解:由题意,先借7人一排坐好,再安排3在8个空中找3个空插入,最后撤出借来的7人。得不同的坐法共有773877/AAA种。6、有序分配问题----逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.例9.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是()A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有21110872520CCC种,选C.(2)学生会的12名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查,若每个年级4人,则不同的分配方案有()A、4441284CCC种B、44412843CCC种C、4431283CCA种D、444128433CCCA种答案:先从12人中选出4人到第一个年级,再从剩下的8人中选4人到第二个年级,第三步从剩下的4人中选4人到第三个年级,不同的选法共有4441284CCC种,选A.7、平均分堆问题---除序法:本材料第4页(共16页)例10.12本不同的书,平均分为3堆,不同的分法种数为多少种。解:先从12本书中选出4本到第一堆,再从剩下的8本中选出4本到第二堆,第三步从剩下的4本中选4本到第三堆,但题中是不要堆序,所以不同的分法共有444128433CCCA种。8、全员分配问题---分组法:例11.(1)4名优秀学生全部保送到3所大学去,每所大学至少去一名,则不同的保送方案有多少种?解析:把四名学生分成3组有24C种方法,再把三组学生分配到三所大学有33A种,故共有234336CA种方法.说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()A、480种B、240种C、120种D、96种答案:B.9、名额分配问题---隔板法:例12:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为6984C种.10、限制条件的分配问题---分类法:例13.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:①若甲乙都不参加,则有派遣方案48A种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有38A方法,所以共有383A;③若乙参加而甲不参加同理也有383A种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有28A种,共有287A方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088AAAA种.本材料第5页(共16页)11、多元问题----分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.例14(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()A、210种B、300种C、464种D、600种解析:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有55A个,1131131131343333323333,,,AAAAAAAAAAA个,合并总计300个,选B.(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做7,14,21,98A共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做1,2,3,4,,100A共有86个元素;由此可知,从A中任取2个元素的取法有214C,从A中任取一个,又从A中任取一个共有111486CC,两种情形共符合要求的取法有2111414861295CCC种.(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?解析:将1,2,3,100I分成四个不相交的子集,能被4整除的数集4,8,12,100A;能被4除余1的数集1,5,9,97B,能被4除余2的数集2,6,,98C,能被4除余3的数集3,7,11,99D,易见这四个集合中每一个有25个元素;从A中任取两个数符合要;从,BD中各取一个数也符合要求;从C中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有211225252525CCCC种.12、交叉问题----集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式()()()()nABnAnBnAB.例15.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,本材料第6页(共16页)共有多少种不同的参赛方案?解析:设全集={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:()()()()nInAnBnAB43326554252AAAA种.13、定位问题----优先法:有限制条件,某个或几个元素要排在指定位置,通常要优先考虑这个或几个元素受限位置或受限元素,再排其它的元素。若反面情况较为简单时,则用排除法求解.例16.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,现要派5名参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_________种(用数字作答).解:由题意,先安排3名主力队员在第一、三、五位置,有33A种;再安排其余7名队员选2名在第二、四位置有27A种;由乘法原理,得不同的出场安排共有3237252AA·种.例17.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?解析:老师在中间三个位置上选一个有13A种,4名同学在其余4个位置上有44A种方法;所以共有143472AA种。.14、多排问题----单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。例18.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()A、36种B、120种C、720种D、1440种解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共66720A种,选C.(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?解析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种,其余5个元素任排5个位置上有55A种,故共有1254455760AAA种排法.本材料第7页(共16页)15、“至少”“至多”问题----间接排除法或分类法:例19.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有()A、140种B、80种C、70种D、35种解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有33394570CCC种,选.C解析2:
本文标题:解排列组合应用题的26种策略
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